[論文レビュー] A developed new algorithm for evaluating Adomian polynomials

Mustapha Azreg‐Aïnou|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Fuzzy Systems and OptimizationMathematics参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非線形作用素に依存せず、添え字の差にのみ依存する「縮小多項式（RPs）」を定義することで、アドミアン多項式（APs）の評価のための新しいアルゴリズムを提案する。この方法により、体系的かつコンactに、かつ効率的に計算が可能となり、手計算を簡略化し、Mathematicaプログラムを極めて最適化できる。$ A_{10} $ までのAPの一般形を明示的に導出しており、アドミアン分解法における計算複雑性を顕著に低減する。

ABSTRACT

Adomian polynomials (AP's) are expressed in terms of new objects called reduced polynomials (RP's). These new objects, which carry two subscripts, are independent of the form of the nonlinear operator. Apart from the well-known two properties of AP's, curiously enough no further properties are discussed in the literature. We derive and discuss in full detail the properties of the RP's and AP's. We focus on the case where the nonlinear operator depends on one variable and construct the most general analytical expressions of the RP's for small values of the difference of their subscripts. It is shown that each RP depends on a number of functions equal to the difference of its subscripts plus one. These new properties lead to implement a dramatically simple and compact Mathematica program for the derivation of individual RP's and AP's in their general forms and provide useful hints for elegant hand calculations of AP's. Application of the program is considered.

研究の動機と目的

• 非線形微分方程式や積分方程式を解く際の主なボトル neck である、アドミアン分解法（ADM）におけるアドミアン多項式（APs）の評価の計算複雑性を軽減すること。
• 非線形作用素に依存せず、添え字の差にのみ依存する「縮小多項式（RPs）」と呼ばれる新しい種類の対象を導入すること。
• 添え字の差が小さい場合のRPsの一般解析的表現を導出することにより、各RPが $ m-k+1 $ 個の関数に依存することを明らかにすること。ここで $ m $ と $ k $ はそれぞれ添え字である。
• 個々のRPsおよびAPsの一般形を計算するための、簡単でコンパクトかつ効率的なMathematicaプログラムを開発すること。
• $ A_5 $ から $ A_{10} $ までの明示的かつ未発表の解析的表現を提供することにより、ADMの解析的および計算的応用における有用性を高めること。

提案手法

• 本稿では、非線形作用素 $ N $ に依存せず、添え字の差 $ m-k $ のみに依存する「縮小多項式（RPs）」$ Z_{m,k} $ を定義する。
• $ k > 1 $ のとき、$ Z_{m,k} $ は $ m-k+1 $ 個の関数 $ (u_1, u_2, ..., u_{m-k+1}) $ に依存し、$ Z_{m,1} $ は $ u_m $ のみに依存することを示す。
• アドミアン多項式 $ A_m $ は、各項が $ Z_{m,k} $ と非線形関数 $ F $ の $ k $ 階微分 $ F^{(k)}(u_0) $ の積である $ k $ の和として表され、すなわち $ A_m = igoplus_{k=1}^m Z_{m,k} F^{(k)}(u_0) $ となる。
• 添え字の差 $ m-k $ が小さい場合の $ Z_{m,k} $ の一般表現を導出し、APの体系的構築を可能にする。
• 導出された性質に基づき、RPsおよびAPsを記号的に自動生成できるMathematicaプログラムを実装する。
• 本手法の有効性を検証するため、文献に未発表の $ A_5 $ から $ A_{10} $ までの最初の明示的かつ完全な一般形を導出し、提示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アドミアン分解法におけるAPの評価を、どのように体系的かつ簡略化することで、計算負荷を軽減できるか？
• RQ2 縮小多項式（RPs）が、成分 $ u_1, u_2, ..., u_m $ にどのように依存するかを規定する、内在的な構造的性質は何か？
• RQ3 添え字の差が小さい場合のRPsの一般解析的表現を導出可能か？また、$ u_i $ 成分への関数的依存関係は何か？
• RQ4 新しいRPベースのアルゴリズムは、どの程度コンパクトで効率的な記号計算プログラムに実装可能か？
• RQ5 $ A_5 $ から $ A_{10} $ までのアドミアン多項式の明示的かつ一般形は何か？また、既存の文献と比較してどう異なるか？

主な発見

• $ k > 1 $ のとき、縮小多項式 $ Z_{m,k} $ は正確に $ m-k+1 $ 個の関数 $ (u_1, ..., u_{m-k+1}) $ に依存し、$ Z_{m,1} $ は $ u_m $ のみに依存する。この構造的パターンは明確である。
• $ A_m $ の一般形は、$ m $ 個の項の和として表され、各項は $ Z_{m,k} $ と $ F^{(k)}(u_0) $ の積である。これにより、作用素に依存しない部分と作用素に依存する部分が明確に分離される。
• $ A_5 $ から $ A_{10} $ までの導出された表現は、文献に未発表の最初の完全で明示的かつ一般形式の多項式であり、重要な空白を埋めている。
• このアルゴリズムにより、RPsおよびAPsの計算に向けたMathematicaプログラムが著しく簡略化され、コンパクトになり、コードの複雑性と実行時間が著しく低減された。
• 本手法は、APのエレガントな手計算を明確に示唆し、手動での導出に要する作業量を顕著に削減する。
• 本アプローチは一般性を持ち、単一変数に依存する任意の非線形作用素に適用可能であり、非線形科学および工学分野における多様な応用に広く有用である。