[論文レビュー] A diagrammatic categorification of the q-Schur algebra

Marco Mackaay, Marko Stošić+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、KhovanovとLaudaの図式的2カテゴリ U(sln) の商として2カテゴリ S(n, d) を構成することにより、q-シュール代数 Sq(n, d) の図式的 categorification を提示する。図式の領域には gln-重みをラベルとして用いる。主な結果は、S(n, d) のGroーデック群を Q(q) でテンソル積を取ると、Sq(n, d) に同型になることである。これにより、図式的枠組みを用いて q-シュール代数が categorification され、d ≤ n のときには Soergel の A 型モノイダルカテゴリが完全部分2カテゴリとして埋め込まれる。

ABSTRACT

In this paper we categorify the q-Schur algebra S(n,d) as a quotient of Khovanov and Lauda's diagrammatic 2-category U(sln). We also show that our 2-category contains Soergel's monoidal category of bimodules of type A, which categorifies the Hecke algebra H(d), as a full sub-2-category if d does not exceed n. For the latter result we use Elias and Khovanov's diagrammatic presentation of Soergel's monoidal category of type A.

研究の動機と目的

• q-シュール代数 Sq(n, d) を図式的2カテゴリ S(n, d) で categorification すること。
• KhovanovとLaudaの U(sln) の図式的 categorification を、sln-重みの代わりに gln-重みを用いることで U(gln) に拡張すること。
• d ≤ n のとき、S(n, d) が Soergel の A 型モノイダルカテゴリを完全部分2カテゴリとして含むことにより、Hq(d) ⊂ Sq(n, d) の包含関係を図式的に categorification すること。
• KhovanovとLaudaの ˙U(sln) の符号付き categorification における符号の誤りを、gln-重みを用いた新しい符号規約を導入することで是正し、q-シュール代数の文脈で循環性を回復すること。

提案手法

• KhovanovとLaudaの U(sln) を gln-重みを用いて拡張し、2カテゴリ U(gln) を定義する。2-射の領域に gln-重みをラベルとして用いる。
• V⊗d に現れない gln-重みを持つ領域を持つ図式を除去する関係を課すことにより、U(gln) の商として S(n, d) を構成する。
• EliasとKhovanovの Soergel 圏の図式的表現を用い、d ≤ n のとき Hecke代数 Hq(d) を S(n, d) に埋め込む。
• Soergel のbimoduleの2カテゴリから S(n, d) への完全忠実な2関手を確立し、Hq(d) ⊂ Sq(n, d) の包含関係を図式的に categorification する。
• Groーデック群 K0(S(n, d)) ⊗ Q(q) が Sq(n, d) に同型であることを証明する。そのために、写像 γλ: Vλ → KQ(q)0(˙Vλ) の全射性を用いる。
• すべての λ ∈ Λ+(n, d) に対して KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ であると予想し、特に λ = (d) および n = 2 のような特殊ケースについて部分的な証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-シュール代数 Sq(n, d) は、gln-重みから構成される図式的2カテゴリによって categorification 可能か？
• RQ2 U(gln) の商として構成された図式的2カテゴリ S(n, d) は、正しいGroーデック群を有する Sq(n, d) の categorification を与えるか？
• RQ3 包含関係 Hq(d) ⊂ Sq(n, d) は、図式的枠組みの中でどのようにカテゴリカルに現れるか？
• RQ4 KhovanovとLaudaの ˙U(sln) の符号付き categorification における符号の誤りは、gln-重みを用いることで是正可能であり、S(n, d) の文脈で循環性を回復できるか？
• RQ5 n = d の場合に Williamson の形式が特異 Soergel bimodule に対して図式的にどのように解釈されるか。また、S(n, d) のGroーデック群とどのように関係するか？

主な発見

• V⊗d に現れない gln-重みを持つ領域を持つ図式を除去する関係を課した U(gln) の商として定義される2カテゴリ S(n, d) は、Q(q) でテンソル積を取った後、Groーデック群が Sq(n, d) に同型になる。
• d ≤ n のとき、Soergel のbimoduleの2カテゴリから S(n, d) への完全忠実な2関手が存在し、Hq(d) ⊂ Sq(n, d) の包含関係を図式的に categorification する。
• 写像 γλ: Vλ → KQ(q)0(˙Vλ) は全射であり、特に λ = (d) の場合、同型である。これにより、この重みに対して KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ が成立する。
• n = 2 かつ λ = (d−c, c) で 0 < 2c ≤ d のとき、関手 Πd,d−2c と γ(d−2c,0) の同型が関係する可換四角形を用いて、γ(d−c,c) の全射性が示され、KQ(q)0(˙V(d−c,c)) ∼= V(d−c,c) が証明される。
• 著者らは、すべての λ ∈ Λ+(n, d) に対して KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ であると予想しており、これは S(n, d) の射影的モジュールの2カテゴリのGroーデック群が、Sq(n, d) の既約表現を categorification することを示唆する。
• R(∗, λ) の Khovanov-Lauda サイクロトミック商の2カテゴリから Vλ の商への関手が同値であると予想され、その商は右端の領域におけるすべての正次数のバブルを0に設定することで得られる。