[論文レビュー] A discrete and finite approach to past proper time

Wolfgang Orthuber|ArXiv.org|Jul 9, 2002

advanced mathematical theories参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称的なベルヌーイ確率ウォークにおける帰還確率の和にローレンツ因子 γ(x) = 1/√(1−x²) を関連付けることで、相対論的固有時を離散的・有限な解釈として提示する。固有時がそのようなウォークにおける原点への累積帰還確率に比例することを示し、ステップ数が増加するに従い γ(x) に収束することを示し、また v=c（x=1）において有限確率ウォークモデルが 1/√(πn) のスケーリングを示す吸収確率（非帰還）をもたらすことを示し、時間歪みおよび光子エネルギーの赤方偏移の離散的アナログを提供する。

ABSTRACT

The function $γ(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ plays an important role in mathematical physics, e.g. as factor for relativistic time dilation in case of $x=β$ with $β=\frac{v}{c}$ or $β=\frac{pc}{E}$. Due to former considerations it is reasonable to study the power series expansion of $γ(x)$. Here its relationship to the binomial distribution is shown, especially the fact, that the summands of the power series correspond to the return probabilities to the starting point (local coordinates, configuration or state) of a Bernoulli random walk. So $γ(x)$ and with that also proper time is proportional to the sum of the return probabilities. In case of $x=1$ or $v=c$ the random walk is symmetric. Random walks with absorbing barriers are introduced in the appendix. Here essentially the basic mathematical facts are shown and references are given, most interpretation is left to the reader.

研究の動機と目的

• 相対論的物理学におけるローレンツ因子 γ(x) = 1/√(1−x²) の有限部分和の物理的意味を探索すること。
• α = −1/2 を用いた一般化二項定理を用いて、γ(x) のべき級数展開と対称的ベルヌーイ確率ウォークによる二項分布との間の関係を確立すること。
• 有限確率ウォークにおける原点への帰還確率の和に比例する形で固有時をモデル化すること。
• v=c（x=1）における系の挙動を調査し、無限大の極限でウォークが対称的になり、吸収（非帰還）が確実となることを見る。
• √(1−x²) を確率ウォークにおける非帰還（脱出）確率として解釈し、それと光子エネルギーの赤方偏移を結びつけること。

提案手法

• α = −1/2 を用いた一般化二項定理を用いて、γ(x) = 1/√(1−x²) のべき級数展開を導出する。
• べき級数の係数が、1次元格子上における対称的ベルヌーイ確率ウォークの帰還確率に対応することを示す。
• 原点に吸収バリアを設けた有限確率ウォークモデルを構築し、吸収が非帰還に対応することを定義する。
• 2n ステップにおける帰還確率の和を Q0P(2n, 0, 1/2) = (2n)! / (2^{2n} (n!)^2) として表現し、n が大きい場合には 1/√(πn) に近似されることを示す。
• 2n ステップ後の吸収（非帰還）確率を −Q2P(2n, 0, 1/2) ≈ 1/√(4πn³) として導出し、帰還確率の2階差分の負の値と関連づける。
• モデルは √(1−x²) を脱出（非帰還）確率として解釈し、それにより光子エネルギーの到達率（遠方観測者に到達するエネルギーの割合）として解釈し、赤方偏移をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ因子 γ(x) は、離散格子上における対称的ランダムウォークの帰還確率とどのように関係しているか？
• RQ2 相対論的時間歪みの文脈において、γ(x) のべき級数展開の有限部分和の物理的解釈は何か？
• RQ3 吸収バリアを有する有限ランダムウォークにおける非帰還（吸収）確率は、γ(x) の逆数とどのように関係しているか？
• RQ4 x→1（v→c）の極限において、帰還確率および吸収確率はどのように変化するか？ これは相対論的フレームにおける光子の挙動とどのように関連するか？
• RQ5 光子のエネルギー赤方偏移を、離散的ランダムウォークモデルにおける非帰還確率として解釈できるか？

主な発見

• 2n ステップにおける対称的ベルヌーイ確率ウォークの帰還確率の和は、Q0P(2n, 0, 1/2) = (2n)! / (2^{2n} (n!)^2) に等しく、n が大きい場合には 1/√(πn) に近似される。
• x=1（v=c）において、有限確率ウォークモデルは2nステップ後の吸収（非帰還）確率が約 1/√(4πn³) であることを示し、これは帰還確率の2階差分の負の値と一致する。
• 対称的ランダムウォークにおける非帰還（脱出）確率は √(1−x²) で与えられ、これは光子エネルギーのうち遠方観測者に到達する割合として解釈され、赤方偏移をモデル化する。
• ウォークにおける帰還確率の和は固有時と比例するため、時間歪みの離散的・有限モデルを確立する。
• モデルはローレンツ因子 γ(x) が離散確率過程における帰還確率の和として現れることを示し、そのべき級数の物理的解釈を提供する。
• 吸収バリアを有する有限ランダムウォークは、シュレーディンガー方程式の有限差分の挙動を模倣する確率分布を生成する。これは、量子過程と相対論的時間歪みとの間に深い関係がある可能性を示唆する。