[論文レビュー] A discretize-then-map approach for the treatment of parameterized geometries in model order reduction

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 65被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、幾何的変化を伴うパrameterized PDEのモデル順序低減（MOR）のための離散化してから写像する（DtM）手法を提案する。高精度（HF）な有限要素（FE）メッシュはまず基準領域上で離散化され、その後オンライン段階でパラメータ化された写像を用いて変形される。この手法は、標準的なFEルーチンを変更せずに、HFコードに準拠した効率的な残差アセンブリを可能にするために、経験的四則（EQ）を用いて低次元の要素集合を選択する。標準的な写像してから離散化する（MtD）手法と比較して、オンライン効率性と実装の簡便性に優れる。

ABSTRACT

We present a general approach for the treatment of parameterized geometries in projection-based model order reduction. During the offline stage, given (i) a family of parameterized domains {Ωμ : μ ∈ P} ⊂ RD where μ ∈ P ⊂ RP denotes a vector of parameters, (ii) a parameterized mapping Φμ between a reference domain Ω and the parameter-dependent domain Ωμ, and (iii) a finite element triangulation of Ω, we resort to an empirical quadrature procedure to select a subset of the elements of the grid. During the online stage, we first use the mapping to “move” the nodes of the selected elements and then we use standard element-wise residual evaluation routines to evaluate the residual and possibly its Jacobian. We discuss how to devise an online-efficient reduced-order model and we discuss the differences with the more standard “map-then-discretize” approach (e.g., Rozza, Huynh, Patera, ACME, 2007); in particular, we show how the discretize-then-map framework greatly simplifies the implementation of the reduced-order model. We apply our approach to a two-dimensional potential flow problem past a parameterized airfoil, and to the two-dimensional RANS simulations of the flow past the Ahmed body.

研究の動機と目的

• 幾何的変化を伴うドメインにおけるパラメータ化されたPDEのモデル順序低減（MOR）を効率的に行う挑戦に取り組む。
• 標準的な写像してから離散化する（MtD）手法の制限を克服する。この手法はHFソルバの変更を要し、非適合メッシュや複雑な変分式を引き起こす可能性がある。
• 既存の高精度有限要素コードの変更を必要としない、オンライン効率性の高い低次元モデルを実現する。
• 弱形式や係数項の再実装を避けることで、非線形PDEのためのROMの実装を簡素化する。
• 残差評価のための経験的四則と、誤差制御のための双対残差ノルム推定を用いて、ロバストで高精度な性能を確保する。

提案手法

• パラメータ化された写像Φµを適用する前に、高次元等パラメトリックFE法を用いて基準領域Ω上でPDEを離散化する。
• オフライン段階で経験的四則（EQ）手順を用い、オンライン段階での残差評価に使用する低次元の要素集合（Ieq）を選択する。
• オンライン段階では、選択された要素のノードを写像Φµを用いて変形し、標準的な要素単位の残差評価ルーチンを再利用する。
• 変形されたメッシュと経験的四則重みを用いて、残差およびそのヤコビアンを効率的に近似することで、低次元モデルを構築する。
• 強制的および弱い強制の両方に対応するリフト関数（制御関数法）を用いて、非一様ディリクレ境界条件を強制する。
• 経験的テスト空間と四則重みを用いて、完全なHF問題を解かずにオンラインで誤差推定が可能な双対残差ノルムを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の高精度有限要素コードを変更せずに、パラメータ化された幾何形状へのモデル順序低減をどのように効率的に行うことができるか？
• RQ2 写像してから離散化するのではなく、まず離散化してから写像するアプローチが、標準的な写像してから離散化する手法と比較して、実装的および計算的利点は何であるか？
• RQ3 経験的四則は、パラメータ化された幾何形状の低次元モデルにおける残差アセンブリの計算コストを効果的に低減できるか？
• RQ4 双対ノルムと経験的テスト空間を用いることで、離散化してから写像するフレームワークにおいて、正確なオンライン誤差推定をどのように達成できるか？
• RQ5 DtMアプローチは、RANS方程式のような非線形PDEに対し、精度と収束性をどの程度維持できるか？

主な発見

• 離散化してから写像する（DtM）アプローチにより、既存の高精度有限要素ソルバの変更なしに、オンライン効率性の高い低次元モデルが実現可能である。
• 経験的四則により、アフマッドボディ問題では残差アセンブリに使用される要素数が全メッシュの10％未満にまで削減され、高い計算効率が達成された。
• 双対残差ノルム推定により、正確なオンライン誤差制御が可能となり、ポテンシャルフローおよびRANSテストケースの両方で、推定された残差が真の相対H1誤差をよく追跡した。
• 本手法は、粗粒度の写像分割に適合する必要がない低次元統合領域（RID）を用いるため、MtD手法と異なり、高い精度を維持する。
• 2次元のアフマッドボディのRANSシミュレーションでは、SUPG、LSIC、PSPG安定化を含む非線形で安定化された有限要素式を効果的に扱い、複雑な流れに対してもロバストであることが示された。
• 変数係数を伴う弱形式の再導出を避けることで、非線形問題のための実装を簡素化し、標準的な要素単位の残差ルーチンの再利用が可能になった。