[論文レビュー] A registration method for model order reduction: data compression and geometry reduction

Tommaso Taddei|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 62被引用数 87

ひとこと要約

この論文は、パラメータ化されたモデル順序縮小のための一般的な、式に依存しない登録手法を導入し、解（または幾何）を、線形圧縮により扱いやすい形へ写像するパラメータ依存の全単射を構築し、理論的保証と2D数値デモを提供します。

ABSTRACT

We propose a general --- i.e., independent of the underlying equation --- registration method for parameterized Model Order Reduction. Given the spatial domain $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ and a set of snapshots $\\{ u^k \\}_{k=1}^{n_{\ m train}}$ over $\\Omega$ associated with $n_{\ m train}$ values of the model parameters $\\mu^1,\\ldots, \\mu^{n_{\ m train}} \\in \\mathcal{P}$, the algorithm returns a parameter-dependent bijective mapping $\\boldsymbol{\\Phi}: \\Omega \ imes \\mathcal{P} \ o \\mathbb{R}^d$: the mapping is designed to make the mapped manifold $\\{ u_{\\mu} \\circ \\boldsymbol{\\Phi}_{\\mu}: \\, \\mu \\in \\mathcal{P} \\}$ more suited for linear compression methods. We apply the registration procedure, in combination with a linear compression method, to devise low-dimensional representations of solution manifolds with slowly-decaying Kolmogorov $N$-widths; we also consider the application to problems in parameterized geometries. We present a theoretical result to show the mathematical rigor of the registration procedure. We further present numerical results for several two-dimensional problems, to empirically demonstrate the effectivity of our proposal.

研究の動機と目的

• 解/幾何を、線形圧縮により適した空間へ写像するパラメータ依存の全単射 Φ を生み出す登録フレームワークを開発する。
• 指定された条件下で登録写像とその可逆性に対する理論的保証を確立する。
• 2Dの数値実験を通じて、解場のデータ圧縮とパラメータ化された領域の幾何削減という2つの応用を実証する。
• 標準的な pMOR のオフライン/オンラインのパラダイムと POD に基づく圧縮と統合する。

提案手法

• Φ: Ω × P → R^d を、全ての μ ∈ P に対して全単射となるパラメトリック写像として定義する。
• 参照 μ̄ と一連のスナップショットを用いて、参照マップされた場のずれを最小化する非線形・非凸最適化問題を定式化する。
• Φ を Ψ_a^hf(X) = X + ∑_{m=1}^{M_hf} a_m φ_m^hf(X) の形で表現し、 φ_m^hf ∈ Lip(U, R^d) として、ヤコビ行列 det(J) に関する制約をヒューリスティックに課すことにより可逆性を担保する。
• オフラインの学習データに基づいて、全 μ ∈ P に対して核回帰を用いて Φ_μ を生成する。
• 登録をデータ（写像された解）と幾何（写像された領域の）両方に適用し、写像された多様体上で線形還元（例：POD）を可能にします。
• POD ベースの縮約空間と回帰ベースのオンライン予測子を持つ、オフライン/オンラインの pMOR パラダイムにこの手法を組み込む。

(a)

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像されたスナップショットと参照場のずれを最小化する、パラメータ依存の登録写像 Φ を構築できるか。
• RQ2 登録写像が全単射かつ可逆となる条件は何か、写像された問題を適切に定めることを保証する。
• RQ3 遅く崩壊する Kolmogorov N-width を持つパラメータ化された解の多様体の線形還元性を、写像はどのように改善できるか。
• RQ4 この登録フレームワークは、解のデータ圧縮とパラメータ化領域の幾何削減の双方に有効か。

主な発見

• 登録手順は、Ω 自身へ、または Ω_μ へ写像するパラメータ依存の全単射を生み出し、線形圧縮性を改善する。
• 理論的な結果は、写像の全単射性と可逆性を保証する条件を確立し、写像の具体的な構成形を示す。
• 二次元の数値実験は、データ圧縮と幾何削減に対する手法の有効性を示す。
• このアプローチは POD ベースの圧縮とオフライン/オンライン pMOR ワークフローと統合され、一般的で方程式に依存しない登録ステップを提供する。
• 本論文は最適輸送や他の非線形圧縮アイデアとの関連を論じ、手法を堅固な理論的枠組みに位置づける。

(b)