[論文レビュー] A family of mixed finite elements for the biharmonic equations on triangular and tetrahedral grids

Jun Hu, Rui Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、三角形および四面体メッシュ上で、$H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-適合な対称応力要素を、$H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-適合空間から、$\mathbf{div}\bm{\sigma}$ の法線連続性を課すことによって構築することで、双調和方程式のための新しい混合有限要素族を提案する。この手法は、$k \geq 3$ に対して最適な $k$ 階の収束を達成し、超収束を示す。均一および非均一メッシュ上の数値実験により検証されている。

ABSTRACT

This paper introduces a new family of mixed finite elements for solving a mixed formulation of the biharmonic equations in two and three dimensions. The symmetric stress $\bmσ=- abla^{2}u$ is sought in the Sobolev space $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ simultaneously with the displacement $u$ in $L^{2}(Ω)$. Stemming from the structure of $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming elements for the linear elasticity problems proposed by J. Hu and S. Zhang, the $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming finite element spaces are constructed by imposing the normal continuity of $\bm{div}\bmσ$ on the $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming spaces of $P_{k}$ symmetric tensors. The inheritance makes the basis functions easy to compute. The discrete spaces for $u$ are composed of the piecewise $P_{k-2}$ polynomials without requiring any continuity. Such mixed finite elements are inf-sup stable on both triangular and tetrahedral grids for $k\geq 3$, and the optimal order of convergence is achieved. Besides, the superconvergence and the postprocessing results are displayed. Some numerical experiments are provided to demonstrate the theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元の双調和方程式に対して、安定的かつ最適な混合有限要素法を、混合変分式に基づいて開発すること。
• 一般の三角形および四面体グリッド上で、$H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-適合有限要素を、対称応力テンソルに対して構築すること。
• 特に非構造的メッシュ上でも、応力および変位変数の両方の最適収束率を保証すること。
• 精度を向上させるために、超収束および後処理の結果を確立すること。

提案手法

• $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-適合な $P_k$ 対称テンソル要素に、$\mathbf{div}\bm{\sigma}$ の法線連続性を課すことにより、$H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-適合有限要素空間を構築する。
• 変位 $u$ に対して、連続性を要件としない $P_{k-2}$ 多項式を用いることで、離散空間の構築を簡略化する。
• 線形弾性の既存の $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-適合要素の構造を活用し、基底関数が計算的に扱いやすいようにする。
• 離散関数空間の適切な構築により、三角形および四面体グリッドの両方で $k \geq 3$ に対して inf-sup 安定性を確保する。
• 変位近似の収束率を向上させるために、後処理技術を適用する。
• 均一および非均一の三角形分割上での数値的検証を実施し、特異的摂動を伴う L 字型領域を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の三角形および四面体グリッド上で、$H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-適合応力要素を用いて、安定的かつ最適収束する混合有限要素法を構築可能か？
• RQ2 既存の $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-適合要素から、$H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-適合有限要素を効率的に構築する方法は何か？
• RQ3 非均一およびグレーディングされたメッシュ上での収束特性はいかほどか。特に、解の特異性が存在する場合にどうなるか？
• RQ4 提案手法は超収束を示すか。また、後処理により変位の収束率をさらに向上させられるか？

主な発見

• 提案された混合有限要素は、$k \geq 3$ の場合、三角形および四面体グリッドの両方で最適な $k$ 階収束を達成しており、数値実験により確認されている。
• 均一メッシュ上では、$k=5$ の場合、応力 $\sigma$ の $L^2$ ノルム誤差が $k \approx 3.94$ の収束順序を示しており、ほぼ最適収束であることが示された。
• 変位 $u$ の $L^2$ ノルム誤差は、$k=5$ の場合、約 1.96 の収束順序を示し、最適な2次収束率に近づいている。
• 超収束が観測された：後処理された変位 $u_h^*$ は、均一メッシュ上での $H^2$-ノルムで $k=5$ の場合、収束率が 3.97 に達した。
• 非均一メッシュ上でも、最適収束率を維持しており、$\sigma$ と $u$ の $L^2$ 誤差はそれぞれ最大で 3.96 および 1.99 の収束順序を示した。
• 特異解を有する L 字型領域では、収束は依然として観測されたが、特異性の影響で劣化しており、$k=5$ 時に変位誤差の収束順序は 1.48 であった。