[論文レビュー] A fibrational study of realizability toposes

Jonas Frey|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一様順序とファイバード構造を用いて、実現可能性トポスのファイブレーション的枠組みを構築し、ファイバードコメプレッションやシェーフィケーションといった圏論的構成から実現可能性トリピオスおよびトポスが生じることを示している。主な貢献は、一様順序とそれらに付随するアセンブリの圏を用いた実現可能性トポスの特徴付けである。

ABSTRACT

This is the author's PhD thesis. It is a contribution to categorical logic, in particular to the theory of realizability toposes. While the tools of categorical logic have proven very successful in analyzing and organizing proof theoretic realizability interpretations, it was remarked by experts (notably Peter Johnstone) that the field of realizability toposes itself was not clearly delineated, and lacked a powerful theory analogous to that of Grothendieck toposes. The present work sets out to remedy this situation to a certain extent. We argue that realizability toposes are best understood using Grothendieck fibrations, and develop a framework of fibrational cocompletions, which allows to view certain constructions from realizability in precise analogy to constructions of presheaf and sheaf toposes. Using these techniques, and a class of posetal fibrations that we call uniform preorders, we are able to give an extensional characterization of partial combinatory algebras and of the realizability toposes that are constructed from these algebras. Striving to develop the analogy to Grothendieck toposes further, we outline how to apply our techniques on arbitrary base toposes, and give a decomposition theorem for constant objects functors induced by triposes, analogous to the known decompositions of geometric morphisms. Finally, we sketch an approach of how to find a unified framework for Grothendieck toposes and realizability toposes, based on the observation that uniform preorders can be identified with preorders internal to a category of sheaves.

研究の動機と目的

• 既存の圏論的アプローチを一般化・統一する、実現可能性トポスのファイブレーション的枠組みを構築すること。
• 一様順序の観点から、実現可能性トリピオス、トポス、および内部論理の関係を明確にすること。
• 特にコメプレッションとシェーフィケーションを含むファイバード構成が、選択公理に依存せずに実現可能性モデルを生成する方法を調査すること。
• 内部圏と豊かにされた圏の広い枠組みに埋め込むことで、実現可能性の圏論的意味論を探究すること。
• 選択公理に起因する問題を避けるために、$Ø\mathscr{P}{\mathbf{Set}}$ の代わりにユニバース上の大きなシェーフを用いることで、実現可能性の基礎的問題を解決すること。

提案手法

• 部分的組合せ代数（PCAs）からファイブレーションを構成し、それらを実現可能性ハイパドロムのモデルとして用いる。
• 一様順序を、モデスト集合やBCOの一般化としての圏論的抽象化として導入する。
• 特に$D$-構成とファイバード正コメプレッションを用いたファイバードコメプレッション技術を適用し、実現可能性トポスを生成する。
• 一様順序上のファイバードシェーフとアセンブリを定義し、実現可能性モデルの内部論理を回復する。
• 豊かにされた圏論を用いて、一様順序を下向き閉じた関係の量体的圏に豊かにされた圏として解釈する。
• ユニバース上の小さな正則シェーフにおける代表的対象の小さなコロイドの合併として、実現可能性トポスを再構成し、選択公理に依存しないようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーション的およびコメプレッション的技法を用いて、実現可能性トポスを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 実現可能性トリピオスを生じさせる一様順序のクラスを特徴付ける圏論的構造は何か？
• RQ3 ファイバードコメプレッションとシェーフィケーションは、どのようにして実現可能性モデルの内部論理を回復するのか？
• RQ4 選択公理を仮定せずに、実現可能性トポスをどのように構成できるか？
• RQ5 一様順序は自然に豊かにされた圏として解釈できるか？ そして、これは既存の圏論的実現可能性枠組みとどのように関係するか？

主な発見

• 一様順序は、モデスト集合やBCOを一般化し、実現可能性トリピオスの本質的構造を捉えることで、実現可能性の圏論的基盤を提供する。
• ファイバード$D$-構成とファイバード正コメプレッションは、一様順序上のアセンブリの圏として実現可能性トポスを生成する。
• 一様順序上のファイバードシェーフは、真偽値が一様実現者によって与えられる実現可能性モデルの内部論理を回復する。
• ユニバース$Ø\mathbf{SET}$上の小さな正則シェーフの圏は、大きな正則シェーフにおける代表的対象の小さなコロイドの合併として構成され、実現可能性意味論を支えるトポスを形成する。
• 一様順序は、下向き閉じた関係の量体的圏に豊かにされた圏として同値に記述でき、その構造に対する新たな視点を提供する。
• ファイバードコメプレッションによる実現可能性トポスの構成は、大きなユニバース内での作業により、選択公理に依存せず、コロイドについての閉包性を保証する。