[論文レビュー] A flow of conformally balanced metrics with Kähler fixed points

D. H. Phong, Sébastien Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかで消えない holomorphic $(n,0)$-形式を備えたコンpact複素多様体上で、 conformally balanced 計量の幾何的フローを導入し、初期データが conformally balanced かつ Kähler 計量と整合する場合に、短時間の存在と長時間の収束を証明する。フローは conformally balanced 条件を保存し、Kähler 計量を静止点として向かう。これは、Yau の Ricci-flat Kähler 計量の存在定理に対する新しい放物型アプローチを提供する。

ABSTRACT

While the Anomaly flow was originally motivated by string theory, its zero slope case is potentially of considerable interest in non-Kahler geometry, as it is a flow of conformally balanced metrics whose stationary points are precisely Kahler metrics. We establish its convergence on Kahler manifolds for suitable initial data. We also discuss its relation to some current problems in complex geometry.

研究の動機と目的

• 滑らかで消えない holomorphic $(n,0)$-形式を備えたコンパクト複素多様体上で、ストリング理論と非Kähler幾何学に由来する conformally balanced 計量の幾何的フローを研究すること。
• 特に多様体が Kähler である場合に、適切な初期条件の下でフローの存在と収束を確立すること。
• 複素 Monge-Ampère 型フローを用いた、Yau の定理（Ricci-flat Kähler 計量の存在）の新しい放物型証明を提供すること。
• フローと、正の $(p,p)$ 類のコホモロジー類に対する Kähler 代表元の存在といった、複素幾何学の基本的問題との関係を調査すること。

提案手法

• フローは、$\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^{n-1}) = i\partial\bar{\partial}\omega^{n-2}$ で定義され、$d(\|\Omega\|_{\omega_0}\omega_0^{n-1}) = 0$ という conformally balanced 条件を保存する。
• 初期計量が conformally balanced である場合、フローは放物型であることが示され、$T>0$ に対して $[0,T)$ 上に一意な解が存在することが保証される。
• Kähler 多様体上では、フローは複素 Monge-Ampère 型方程式 $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$ に簡略化され、初期条件 $\varphi(0) = 0$ および $\hat{\chi}$ が Kähler 計量である。
• 曲率と torsion の推定値を用いてフローを解析し、正規化されたポテンシャル $\tilde{\varphi}(t)$ が $C^\infty$ 位相で収束することを確立する。
• 証明は、特に $(2,1)$-形式とその wedge 積に現れる、Hermitian 計量と微分形式に関する曲率計算と収縮恒等式に依存する。
• フローの静止点が、与えられた条件下で Kähler である astdheno-Kähler 計量であることが示され、これにより Ricci-flat Kähler 計量への収束が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで消えない holomorphic $(n,0)$-形式を備えたコンパクト複素多様体上で、conformally balanced 計量のフローがどのような条件下で Kähler 計量に収束するか。
• RQ2 このフローは、Kähler-Ricci フローとは独立して、Yau の定理（Ricci-flat Kähler 計量の存在）の放物型証明を提供できるか。
• RQ3 このフローは、非Kähler幾何学における正の $(p,p)$ コホモロジー類に対する Kähler 代表元の存在とどのように関係するか。
• RQ4 初期計量が conformally balanced であるが、多様体が Kähler でない場合、フローの挙動はいかなるものか。
• RQ5 複素 Monge-Ampère 型フロー $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$ の幾何的・解析的性質は何か。

主な発見

• フロー $\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^{n-1}) = i\partial\bar{\partial}\omega^{n-2}$ は放物型であり、任意の conformally balanced 初期計量 $\omega_0$ を持つ $n \geq 3$ 次元のコンパクト複素多様体上で、一意な短時間解を有する。
• 初期データが $\|\Omega\|_{\omega(0)}\omega(0)^{n-1} = \hat{\chi}^{n-1}$ を満たす Kähler 多様体では、$t > 0$ に対してすべての時間にわたってフローが存在する。
• $t \to \infty$ のとき、解 $\omega(t)$ は滑らかに $\omega_\infty$ に収束し、$\omega_\infty = \|\Omega\|_{\chi_\infty}^{-2/(n-2)} \chi_\infty$ を満たす。ここで $\chi_\infty$ はコホモロジー類 $[\hat{\chi}]$ に属する一意の Ricci-flat Kähler 計量である。
• 極限計量 $\omega_\infty$ は Kähler かつ Ricci-flat であり、$\|\Omega\|_{\chi_\infty}^2 = \frac{n!}{[\hat{\chi}]^n} \int_X i^{n^2} \Omega \wedge \bar{\Omega}$ を満たす。これは、holomorphic 体積形式とコホモロジー類によって決定される定数である。
• このフローは、Kähler-Ricci フロー や逆 Monge-Ampère フローとは異なる、Yau の定理（Ricci-flat Kähler 計量の存在）の新しい放物型証明を提供する。
• 関連する複素 Monge-Ampère フロー $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$ は初期条件 $\varphi(0) = 0$ で滑らかで全域的な解を有し、正規化されたポテンシャル $\tilde{\varphi}(t)$ は $C^\infty$ 位相で収束する。