[論文レビュー] A framework for randomized benchmarking over compact groups

Linghang Kong|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、行列摂動理論を無限次元のフーリエ空間へ一般化することで、全ユニタリ群などの連続的コン pact Lie 群にランダム化基準化（RB）を拡張する。小さなノイズのもとで出力が行列指数関数の線形結合として崩壊することを証明し、完全ランダム化基準化（FRB）により、非アービトラリィや連続的ゲート集合を含むすべての量子ゲートのゲート忠実度を一様に推定可能にする。

ABSTRACT

Characterization of experimental systems is an essential step in developing and improving quantum hardware. A collection of protocols known as Randomized Benchmarking (RB) was developed in the past decade, which provides an efficient way to measure error rates in quantum systems. In a recent paper (arxiv:2010.07974), a general framework for RB was proposed, which encompassed most of the known RB protocols and overcame the limitation on error models in previous works. However, even this general framework has a restriction: it can only be applied to a finite group of gates. This does not meet the need posed by experiments, in particular the demand for benchmarking non-Clifford gates and continuous gate sets on quantum devices. In this work we generalize the RB framework to continuous groups of gates and show that as long as the noise level is reasonably small, the output can be approximated as a linear combination of matrix exponential decays. As an application, we numerically study the fully randomized benchmarking protocol (i.e. RB with the entire unitary group as the gate set) enabled by our proof. This provides a unified way to estimate the gate fidelity for any quantum gate in an experiment.

研究の動機と目的

• 既存のランダム化基準化（RB）フレームワークは有限群に限定されており、非アービトラリィや連続的ゲート集合をベンチマークできないという制限を解消すること。
• コンパクト Lie 群への RB の一般化により、非可換や連続的家族に属するすべての量子ゲートにおけるゲート忠実度推定の統一的フレームワークを提供すること。
• 従来の一般化 RB フレームワークが有限ゲート集合を必要としていたという制限を克服し、特に XY- や fSim ゲートなどの連続的ゲート集合を含む実験的要件に対応すること。
• 全ユニタリ群上での完全ランダム化基準化（FRB）の理論的基盤を確立し、任意のゲートをベンチマーク可能なインタレーブル FRB を可能にすること。
• 無限次元ヒルベルト空間への行列摂動理論の厳密な数学的拡張を提供し、有限群から連続群への RB の一般化を支援すること。

提案手法

• 文献[1, 定理6]の行列摂動定理を無限次元ヒルベルト空間へ一般化し、コンパクト群のフーリエ空間におけるスペクトル分離の解析を可能にする。
• コンパクト Lie 群の表現理論を用いて、ノイズチャネルを既約表現に分解し、フーリエドメインで問題を扱う。
• 小さなノイズのもとで、生存確率が各既約表現におけるノイズチャネル固有値によって決定される行列指数関数の線形結合として崩壊することを証明する。
• 一般化された摂動理論を適用し、ゲート依存ノイズが存在する場合でも、コンパクト群上のランダム化基準化シーケンスの出力が近似的に指数的崩壊を示すことを示す。
• 全ユニタリ群からゲートを一様にサンプリングする完全ランダム化基準化（FRB）プロトコルを構築し、SPAM エラーに対してロバストであり、すべての量子ゲートにおける忠実度推定を可能にする。
• 数値シミュレーションを用いて理論的結果を検証し、FRB の安定性を Clifford RB と比較し、連続的ゲート家族におけるインタレーブル FRB のテストを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群から連続的コンパクト Lie 群（例えばユニタリ群）へのランダム化基準化を一般化することは可能か？ また、生存確率の指数的崩壊特性は保たれるか？
• RQ2 ノイズがゲート依存的かつ小さい場合、コンパクト群上でのランダム化基準化の出力が、行列指数関数的崩壊を示す条件は何か？
• RQ3 全ユニタリ群上での完全ランダム化基準化（FRB）は、非アービトラリィや連続的ゲート集合を含む任意の量子ゲートの忠実度を安定的かつ正確に推定できるか？
• RQ4 FRB と標準的な Clifford RB の間で、両者に共通するベンチマークタスクにおいて、安定性および正確性の観点から性能はどのように比較されるか？
• RQ5 インタレーブル FRB を用いて、XY- や fSim ゲートなどの連続的家族に属するゲートの忠実度を推定可能か？ また、数値シミュレーションの結果は理論的予測とどの程度一致するか？

主な発見

• 本論文は、コンパクト Lie 群において、小さなノイズのもとでランダム化基準化の生存確率が行列指数関数の線形結合として崩壊することを証明し、[1, 定理8]の有限群結果を一般化する。
• 本フレームワークにより、全ユニタリ群上での完全ランダム化基準化（FRB）が可能となり、非アービトラリィや連続的ゲート集合を含むすべての量子ゲートの忠実度推定が可能になる。
• 数値シミュレーションにより、FRB が両プロトコルに共通するゲートをベンチマークする際、Clifford RB と同等の安定性を示すことが確認され、そのロバスト性が妥当であることが検証された。
• インタレーブル FRB は連続的家族に属するゲートの忠実度推定に成功し、シミュレーション結果が理論的予測と高い精度で一致した。
• 無限次元ヒルベルト空間における一般化された行列摂動定理により、スペクトル分離と収束が保証され、無限に多くの既約表現が存在する場合でも崩壊近似が可能になる。
• 理論的枠組みは、近い将来の量子計算（例えば、変動量子アルゴリズム（VQE, QAOA）や fSim をネイティブゲートとして使用するデバイスなど）における連続的ゲート集合を用いた RB の利用を支援する。