[論文レビュー] A generalization of Goodstein's theorem: interpolation by polynomial functions of distributive lattices

Miguel Couceiro, Tamás Waldhauser|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分配的ラティスの立方体的部分集合上で定義された部分関数がラティス多項式関数によって補間可能となる条件を特徴づけることにより、グッドスタインの定理を一般化する。補間が可能となる必要十分条件を提示し、すべての可能な補間多項式を明示的に記述する。これは、古典的な結果をブール立方体から任意の分配的ラティスおよび一般の立方体へと拡張するものである。

ABSTRACT

We consider the problem of interpolating functions partially defined over a distributive lattice, by means of lattice polynomial functions. Goodstein's theorem solves a particular instance of this interpolation problem on a distributive lattice L with least and greatest elements 0 and 1, resp.: Given an n-ary partial function f over L, defined on all 0-1 tuples, f can be extended to a lattice polynomial function p over L if and only if f is monotone; in this case, the interpolating polynomial p is unique. We extend Goodstein's theorem to a wider class of n-ary partial functions f over a distributive lattice L, not necessarily bounded, where the domain of f is a cuboid of the form D={a1,b1}x...x{an,bn} with ai

研究の動機と目的

• 元来ブール立方体 {0,1}^n 上での有界分配的ラティスに適用可能であったグッドスタインの定理を、任意（おそらく非有界な）分配的ラティスにおける一般の立方体領域上で定義された部分関数のクラスへと拡張すること。
• D が二元集合 {a_i, b_i}（a_i < b_i）の積であるとき、部分関数 f: D → L がラティス多項式関数によって補間可能であるための必要十分条件を特定すること。
• 一意性（グッドスタインの元々の結果に見られる）が一般化された設定では保証されないため、与えられた部分関数を補間するすべてのラティス多項式関数の集合を特徴づけること。
• すべての補間多項式を、標準和形（DNF）と単調係数系を用いて明示的に構成すること。
• 決定支援モデルへの応用を支援するため、グローバルな効用関数を局所的効用関数と集約関数に分解可能にするために、ラティス多項式補間を活用すること。

提案手法

• 分配的ラティス L において aᵢ < bᵢ を満たす D = {a₁,b₁} × ⋯ × {aₙ,bₙ} として定義される立方体領域上での部分関数 f: D → L の補間問題を形式化する。L は非有界であってもよい。
• ラティス多項式関数を標準和形（DNF）で表現する：p(x) = ⋁_{I⊆[n]} (c_I ∧ ⋀_{i∈I} x_i)。係数 c_I ∈ L は単調性条件 c_I ≤ c_J（I ⊆ J ならば）を満たす。
• 立方体 D の頂点における f の値を用いて、補間多項式の係数 c_I を決定し、DNF 表記と整合性を保つ。
• 部分関数 f: D → L がラティス多項式補間をもつことと、立方体 D 上で一般化された単調性条件を満たすこととは同値であることを確立する。
• 補間制約と単調性を満たす係数系を解くことにより、すべての可能な補間多項式のアルゴリズム的記述を提供する。
• 分配的ラティスの構造とラティス多項式の性質を活用し、構成された関数が適切に定義され、必要な順序論的性質を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の分配的ラティス L における L^n の立方体的部分集合 D に対して、部分関数 f: D → L がラティス多項式関数によって補間可能となる条件は何か？
• RQ2 グッドスタインの元々の定理で成立する補間多項式の一意性が、ブール立方体 {0,1}^n でない領域に一般化された場合、どのように拡張されるか？
• RQ3 与えられた部分関数 f が分配的ラティス内の立方体上に定義された場合、すべてのラティス多項式関数の中でその関数を補間可能な関数の完全な集合は何か？
• RQ4 立方体の頂点における f の値から、補間多項式の係数を体系的にどのように決定できるか？
• RQ5 本研究の結果が、決定支援モデルにおけるグローバル効用関数の局所的効用関数と集約関数への分解をどのように支援するか？

主な発見

• 部分関数 f: D → L が、分配的ラティス L 内で aᵢ < bᵢ を満たす D = {a₁,b₁} × ⋯ × {aₙ,bₙ} に対して定義されているとき、ラティス多項式補間が可能であるための必要十分条件は、立方体 D 上で一般化された単調性条件を満たすことである。
• 一般化された設定では補間多項式が一意でない場合がある。本稿では、すべての可能な補間多項式の集合を完全に記述する。
• すべての補間多項式は、頂点における関数値から導かれる係数を用いた標準和形（DNF）と単調性制約のもとで明示的に構成可能である。
• 補間多項式の係数 c_I は、I ⊆ [n] に対する特徴関数ベクトル 1_I における f(1_I) の値によって決定され、I ⊆ J ならば c_I ≤ c_J を満たす必要がある。
• 本研究の結果は、グッドスタインの定理をブール立方体 {0,1}^n から非有界な分配的ラティスにおける任意の立方体領域へと一般化し、核心的な単調性条件を保ったまま拡張している。
• 本フレームワークにより、決定支援モデルにおけるグローバル効用関数を、局所的効用関数とラティス多項式集約関数に分解可能となり、すべての可能な集約関数が明示的に特徴づけられている。