[論文レビュー] A Generalization of the Kodama State for Arbitrary Values of the Immirzi Parameter

Andrew Randono|ArXiv.org|Apr 2, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ループ量子重力におけるKodama状態を、Immirziパラメータβの任意の値に一般化し、元のβ = −iの場合を超えて拡張する。ハミルトニアン制約の自己双対/反自己双対分解を用い、実在性条件を課す前に左・右両手系接続を独立変数として扱うことで、一般化された状態は大規模ゲージ変換に対して不変となり、CPT不変性を示す（ただしCP不変ではない）。実数βに対してはデルタ関数正規化可能であると予想され、元のKodama状態の主要な問題が解決される。

ABSTRACT

The Kodama State for Lorentzian gravity presupposes a particular value for the Immirzi-parameter, namely $β=-i$. However, the derivation of black hole entropy in Loop Quantum Gravity suggests that the Immirzi parameter is a fixed value whose magnitude is on the order of unity but larger than one. Since the Kodama state has de-Sitter spacetime as its classical limit, to get the proper radiation temperature, the Kodama state should be extended to incorporate a more physical value for $β$. Thus, we present an extension of the Kodama state for arbitrary values of the Immirzi parameter, $β$, that reduces to the ordinary Chern-Simons state for the particular value $β=-i$. The state for real values of $β$ is free of several of the outstanding problems that cast doubts on the original Kodama state as a ground state for quantum general relativity. We show that for real values of $β$, the state is invariant under large gauge transformations, it is CPT invariant (but not CP invariant), and it is expected to be delta-function normalizable with respect to the kinematical inner product. To aid in the construction, we first present a general method for solving the Hamiltonian constraint for imaginary values of $β$ that allows one to use the simpler self-dual and anti-self-dual forms of the constraint as an intermediate step.

研究の動機と目的

• ループ量子重力におけるブラックホールエントロピーの導出と整合性を保つために、Kodama状態をβ = −iに限らず一般化すること。
• 元のKodama状態に残る未解決問題、特に大規模ゲージ不変性の欠如、正規化不能性、CPT破れを解消すること。
• 物理的β値に対してde-Sitter時空に類似した明確な古典的極限を持つ量子状態を構築すること。
• 自己双対および反自己双対形式を中間ステップとして用いる一般化手法を提供し、任意のβに対するハミルトニアン制約の解法を可能とすること。
• 一般化された状態が量子重力における基底状態として物理的に妥当であるかを検討すること。

提案手法

• 解法プロセス中にスピン接続およびtetradの自己双対および反自己双対成分を関数的に独立な変数として扱う。
• Immirziパrameterβを含む修正されたEinstein-Cartan作用を用い、一般βに対するハミルトニアン制約を導出する。
• 自己双対および反自己双対形式のそれぞれについて、独立した構造を活かしてハミルトニアン制約を別々に解く。
• 解を構成した後、Lorentz型計量符号に整合するよう、実在性条件ω_R^i_j = 共役(ω_L^i_j)を課す。
• βをiβに置き換えることで、虚数βから実数βへの拡張を実現し、物理的パラメータ値を可能にする。
• 大規模ゲージ不変性を保証するため、前量子化条件κ = 3/(4GΛβ) = a_H/(4β a_0) を整数とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Immirziパラメータβの任意の値にKodama状態を一般化することは可能か？ これはβ = −iに限らない。
• RQ2 実数βに対して、一般化された状態は大規模ゲージ変換に対して不変であるか？
• RQ3 一般化された状態はCPT不変であるか？ また、CP対称性下での振る舞いは？
• RQ4 一般化された状態は、運動論的内積に関してデルタ関数正規化可能か？
• RQ5 一般化された状態は、de-Sitter時空に対応する明確な古典的極限を持つか？

主な発見

• β = −iのとき、一般化されたKodama状態は元のKodama状態に還元され、既知の解と整合性を保つ。
• 実数βに対しては、前量子化条件κ = a_H/(4β a_0) が整数κを満たす場合、状態は大規模ゲージ変換に対して不変である。
• 状態はCPT不変であるが、CP不変ではない。これはパラメータの空間反転および時間反転における外在的曲率の振る舞いに起因する。
• 実数βに対して状態は純粋な位相であるため、運動論的内積に関してデルタ関数正規化可能である可能性が示唆され、ユークリッド型Kodama状態と類似する。
• 自己双対および反自己双対分解を用いたハミルトニアン制約の解法は一般化可能であり、Kodama状態を超える他の解に対しても適用可能である。
• 一般化された状態は、de-Sitter時空に類似した古典的極限を持つと予想され、物理的妥当性を支持する。