[論文レビュー] A hyperelliptic Hodge integral

Jonathan Wise|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,2)$ 上のGromov–Witten不変量として超楕円的Hodge積分を解釈することにより、WDVV再帰とオルビフォールドGromov–Witten理論を用いてそれを計算する。主な結果は、積分が $\left(-\frac{1}{4}\right)^g$ に等しくなることであり、超楕円的幾何とオルビフォールド不変量の間の明確な関係を確立する。

ABSTRACT

We calculate the hyperelliptic Hodge integral lambda_g lambda_{g-1} / (1 - psi) for use in arXiv:math/0702219. The proof uses the WDVV equations for the genus zero Gromov--Witten invariants of P(1,1,2).

研究の動機と目的

• 超楕円曲線のモジュライ空間上でホッジ bundle と余接線束のバンドルを含む特定の超楕円的Hodge積分を計算すること。
• オルビフォールド安定写像を介して、この積分を重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,2)$ 上のGromov–Witten不変量に関連付けること。
• オルビフォールド設定におけるWDVV方程式を用いて、この不変量の再帰的評価を確立すること。
• 超楕円的Hodge積分をオルビフォールド安定写像のモジュライ空間上の仮想交差数として幾何的解釈すること。

提案手法

• 重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,2)$ における $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-gerbe と次数 $\beta = \frac{1}{2}$ を用いたオルビフォールドGromov–Witten理論を用いる。
• WDVV方程式を適用して、Gromov–Witten不変量 $\left\langle p, \gamma^{\otimes(2g+1)} \right\rangle_{\frac{1}{2}}$ を再帰的に計算する。
• 正規化系列を用いて、$\overline{M}(\mathbb{P}(1,1,2);1,2g+1;\frac{1}{2})$ の仮想基本類を障害 bundle $\mathbf{E}^\vee \oplus \mathbf{E}^\vee$ に同定する。
• 評価写像の点におけるファイバーとしてのモジュライ空間 $\overline{M}(B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z});0,2g+2)$ と $\mathbb{P}(1,1,2)$ の関係を特定し、線束 $L_1^\vee$ をオルビフォールド点における余接線束の引き戻しとして同定する。
• 仮想クラスの交差を計算するために、完全系列 $0 \to L_1^\vee \to \mathbf{E}^\vee \oplus \mathbf{E}^\vee \to i^*\operatorname{Obs}(C,f) \to 0$ を用いる。
• Poincaré双対性と $\mathbb{P}(1,1,2)$ におけるオルビフォールドチャウ環の関係、特に $h^2 = \gamma^2$ を適用して、不変量の計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超楕円的Hodge積分 $\int_{\overline{M}(B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),2g+2)} \frac{c(\mathbf{E}^\vee)^2}{c(L_1^\vee)}$ の値は何か？
• RQ2 この積分はどのように $\mathbb{P}(1,1,2)$ 上のGromov–Witten不変量として解釈できるか？
• RQ3 オルビフォールド設定においてWDVV方程式を用いて、この不変量を再帰的に計算できるか？
• RQ4 線束 $L_i$ の幾何的意味は、超楕円曲線のWeierstrass点における余接線束としてどのように解釈できるか？
• RQ5 オルビフォールド安定写像の障害理論は、ホッジバンドルと余接線束のバンドルとどのように関係するか？

主な発見

• 超楕円的Hodge積分 $\int_{\overline{M}(B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),2g+2)} \frac{c(\mathbf{E}^\vee)^2}{c(L_1^\vee)}$ は正確に $\left(-\frac{1}{4}\right)^g$ に等しい。
• $\overline{M}(\mathbb{P}(1,1,2);1,2g+1;\frac{1}{2})$ 上の不変量 $\left\langle p, \gamma^{\otimes(2g+1)} \right\rangle_{\frac{1}{2}}$ は $\left(-\frac{1}{4}\right)^g$ に等しく、WDVV再帰により計算された。
• 線束 $L_i$ は、第 $i$ 個のWeierstrass点における余接線束と自然に同定され、$c_1(L_i) = \psi_i$ である。
• ホッジバンドル $\mathbf{E}^\vee$ は $c_i(\mathbf{E}) = \lambda_i$ を満たし、Hodge積分理論における標準的表記を確認する。
• $\overline{M}(\mathbb{P}(1,1,2);1,2g+1;\frac{1}{2})$ の仮想基本類は、障害バンドル $\mathbf{E}^\vee \oplus \mathbf{E}^\vee$ によって記述され、ノードからの補正項を含む。
• $\overline{M}(B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z});0,2g+2)$ は、$\mathbb{P}(1,1,2)$ の点における評価写像のファイバーとして現れ、積分をGromov–Witten不変量に同定する手がかりを与える。