[論文レビュー] The genus zero Gromov-Witten invariants of [Sym^2 P^2]

Jonathan Wise|ArXiv.org|Feb 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、射影平面 $\mathbb{P}^2$ 内の双曲的曲線の数え上げ幾何と、オルビフォールド $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ の genus zero の Gromov-Witten 不変量の間の対応関係を確立する。モジュライ空間におけるコンブ曲線の分析を通じて、著者は、双曲的曲線の数え上げに関する分割の和として Gromov-Witten 不変量を表す公式を導出し、$q = -1$ における不変量の比較によって、クレパント解体予想の一つの例を検証する。

ABSTRACT

We study the Abramovich--Vistoli moduli space of genus zero orbifold stable maps to [Sym^2 P^2], the stack symmetric square of P^2. This compactifies the moduli space of stable maps from hyperelliptic curves to P^2, and we show that all genus zero Gromov--Witten invariants are determined from trivial enumerative geometry of hyperelliptic curves. We also show how the genus zero Gromov--Witten invariants can be used to determine the number of hyperelliptic curves of degree d and genus g interpolating 3d + 1 generic points in P^2. Comparing our method to that of Graber for calculating the same numbers, we verify an example of the crepant resolution conjecture.

研究の動機と目的

• オルビフォールド $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ の genus zero の Gromov-Witten 不変量と、$\mathbb{P}^2$ 内の双曲的曲線の数え上げ幾何との関係を明らかにすること。
• オルビフォールド安定写像のモジュライ空間が、双曲的曲線から $\mathbb{P}^2$ への安定写像の空間をコンパクト化することを示すこと。
• コンブ曲線を用いて Gromov-Witten 不変量を計算し、$q = -1$ における不変量の比較によってクレパント解体予想を検証すること。

提案手法

• 双曲的曲線から $\mathbb{P}^2$ への安定写像のモジュライをコンパクト化する、genus zero のオルビフォールド安定写像の Abramovich–Vistoli モジュライ空間を用いる。
• 双曲的曲線の数え上げに関連する不変量に寄与する主要な要素として、コンブ曲線を同定する。
• 仮想基本クラスの技術とオルビフォールド Chow 環の計算を用いて、障害 bundle と評価写像を評価する。
• オルビフォールド Chow 環内の代数的関係を用いて、一般の Gromov-Witten 不変量を 2 点不変量と特定の高次点不変量の組み合わせに還元する。
• 等化積分と多重ゼータ関数・多価対数関数の特別値を用いて、不変量の母関数を計算する。
• 解析的接続を用いて $q = -1$ に至る際の不変量を評価し、$[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ の不変量とその Hilbert 標準化解体の不変量が一致することを示し、クレパント解体予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールド $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ の genus zero の Gromov-Witten 不変量は、$\mathbb{P}^2$ 内の $3d+1$ 個の一般点を通る、次数 $d$ で genus $g$ の双曲的曲線の数をどのように符号化するか？
• RQ2 コンブ曲線は、$[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ へのオルビフォールド安定写像のモジュライ空間において、これらの不変量を計算する際に果たす役割は何か？
• RQ3 $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ に対して、オルビフォールドとその Hilbert 標準化解体の Gromov-Witten 不変量を比較することで、クレパント解体予想を検証できるか？
• RQ4 オルビフォールド Chow 環と障害 bundle 構造は、この設定における Gromov-Witten 不変量の計算にどのように制約を加えるか？
• RQ5 Gromov-Witten 母関数は $q = -1$ でどのように解析的挙動を示し、解体予想とどのように関係するか？

主な発見

• オルビフォールド $[\operatorname{Sym}^2 \mathbb{P}^2]$ の genus zero の Gromov-Witten 不変量 $J(d,g)$ は、$J(d,g) = \sum_{\mathbf{h}} \left(-\frac{1}{4}\right)^{g-g(\mathbf{h})} (2g(\mathbf{h})+2)! \cdot E(d,g(\mathbf{h}))$ と表され、ここで $E(d,g(\mathbf{h}))$ は $3d+1$ 個の点を通る genus $g(\mathbf{h})$ の双曲的曲線の数を数える。
• 各コンブ曲線成分の寄与は、双曲的 Hodge 積分によって決定され、$\left(-\frac{1}{4}\right)^{g-g(\mathbf{h})}$ の因子は Hodge 積分の計算から生じる。
• すべての genus zero の Gromov-Witten 不変量は、2 点不変量と二つの特定の高次点不変量の多項式的組み合わせとして表される。
• 次数 0 の不変量 $\langle \alpha\gamma, \gamma^{\otimes(2g+1)} \rangle^*_{0}(-1)$ と $\langle \gamma^2, \gamma^{\otimes(2g+2)} \rangle^*_{0}(-1)$ は、多価対数関数とゼータ値を用いてそれぞれ $\frac{(-1)^g 6(2^{2g}-1)B_{2g}}{2g}$ および $0$ に計算される。
• 2 点不変量は $q = -1$ に解析接続可能であり、その $q = -1$ における値は Hilbert 標準化解体の対応する不変量と一致するため、この場合にクレパント解体予想が検証される。
• 不変量 $\langle \alpha\gamma, \gamma^{\otimes(2g+1)} \rangle^*_{0}(q)$ と $\langle \gamma^2, \gamma^{\otimes(2g+2)} \rangle^*_{0}(q)$ の母関数は、それぞれ $(-1)^{g+1}6\operatorname{Li}_{-(2g-1)}(q)$ および $(-1)^{g+1}9\operatorname{Li}_{-2g}(q)$ に等しく、$q = -1$ に解析接続可能である。