[論文レビュー] A Koszul category of representations of finitary Lie algebras

Elizabeth Dan-Cohen, Ivan Penkov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限次元的Lie代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ の整形式で、有限長の重み加群のKoszul圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ を導入し、それが有限次元Koszul代数の直和極限上の局所ユニタリ有限次元加群の圏と反同型であることを示している。主な結果として、$\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ の間の同型が得られ、それらの表現理論における深い対称性が明らかになった。

ABSTRACT

We find for each simple finitary Lie algebra $\mathfrak{g}$ a category $\mathbb{T}_\mathfrak{g}$ of integrable modules in which the tensor product of copies of the natural and conatural modules are injective. The objects in $\mathbb{T}_\mathfrak{g}$ can be defined as the finite length absolute weight modules, where by absolute weight module we mean a module which is a weight module for every splitting Cartan subalgebra of $\mathfrak{g}$. The category $\mathbb{T}_\mathfrak{g}$ is Koszul in the sense that it is antiequivalent to the category of locally unitary finite-dimensional modules over a certain direct limit of finite-dimensional Koszul algebras. We describe these finite-dimensional algebras explicitly. We also prove an equivalence of the categories $\mathbb{T}_{o(\infty)}$ and $\mathbb{T}_{sp(\infty)}$ corresponding respectively to the orthogonal and symplectic finitary Lie algebras $o(\infty)$, $sp(\infty)$.

研究の動機と目的

• 有限次元的Lie代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ の整形式表現のカテゴリカルな枠組みを構築すること。これは無限次元の設定において半単純でない。
• 有限長の絶対的重み加群の圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ がKoszulであることを示し、無限次元Lie代数に対するKoszul双対性を用いる。
• 自然および余自然表現のテンソル代数の構造をカテゴリカルに記述し、$\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ 内の分解不能インジェクティブ加群を同定する。
• 表現圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ の間の同型を確立し、それらの表現理論における隠れた対称性を明らかにする。
• Koszul双対性を用いて、$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty)$ の場合に $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ 内の単純対象間のExt群に対する明示的公式を導出する。

提案手法

• 圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ は、$\mathfrak{g}$ のすべての分割Cartan部分代数に対して重み加群である有限長の絶対的重み加群の圏として定義される。
• $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ が有限次元Koszul代数の直和極限 $\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}$ 上の局所ユニタリ有限次元加群の圏と反同型であることを示す。
• $\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}$ は、対称群作用とヤング射影を含む関係をもつテンソル代数の商として構成され、自然および余自然表現のテンソル代数の構造を符号化する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty)$ の場合、Koszul双対代数 $(\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}^!)^{\mathrm{opp}}$ は $\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}$ と同型であることが示され、自己双対性が得られ、単純対象間のExt群の明示的計算が可能になる。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{o}(\infty)$ および $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}(\infty)$ の場合、対称群代数の符号自己同型を用いて、代数 $\mathcal{A}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathcal{A}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ が同型であることを示す。
• その代数同型を用いて、圏の同型 $\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)} \simeq \mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ のような有限次元的Lie代数に対してKoszul表現圏を定義できるか？
• RQ2 無限次元設定における自然および余自然表現のテンソル代数のカテゴリカル構造は何か？
• RQ3 非半単純な無限次元Lie代数の表現圏に対してKoszul双対性を適用できるか？
• RQ4 根系が異なるにもかかわらず、なぜ圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ が同型になるのか？
• RQ5 $\mathbb{T}_{\mathfrak{sl}(\infty)}$ 内の単純対象間のExt代数の構造は何か？

主な発見

• 有限長の絶対的重み加群の圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ はKoszulであり、これは有限次元Koszul代数の直和極限上の局所ユニタリ有限次元加群の圏と反同型であることを意味する。
• $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ 内の分解不能インジェクティブ加群は、自然および余自然表現のテンソル代数の分解不能直和成分にちょうど一致する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty)$ の場合、Koszul双対代数 $(\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}^!)^{\mathrm{opp}}$ は $\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}$ と同型であり、自己双対性が得られ、単純対象間のExt群に対する明示的公式が可能になる。
• $\mathcal{A}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathcal{A}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ は同型であり、これにより圏の同型 $\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)} \simeq \mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ が得られる。
• $\mathbb{T}_{\mathfrak{o}(\infty)}$ と $\mathbb{T}_{\mathfrak{sp}(\infty)}$ はそれぞれ、最高重みの偶奇性によって区別される2つの非同型なブロック $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}^{\mathrm{ev}}$ と $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}^{\mathrm{odd}}$ に分解される。
• 圏 $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}}$ 内の自明加群は $S^2(V) = V_{(2)}$ とのみ非自明な拡張を持つが、他の単純インジェクティブ加群は複数の非同型な単純加群と拡張を持つため、これらのブロックは同型でないことが示された。