[論文レビュー] A law of large numbers for branching Markov processes by the ergodicity of ancestral lineages

Aline Marguet|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、祖先線路のエルゴード性を活用することで、分岐マルコフ過程に対する大数の法則を確立し、祖先線路の経験的分布が、典型線路を記述する時非定常マルコフ過程の平均に収束することを示している。この手法は固有値解析を避けており、時非定常ダイナミクス、特に変動環境下での指数的成長を示すサイズ構造を持つ集団に対しても適用可能である。

ABSTRACT

We are interested in the dynamic of a structured branching population where the trait of each individual moves according to a Markov process. The rate of division of each individual is a function of its trait and when a branching event occurs, the trait of a descendant at birth depends on the trait of the mother. We prove a law of large numbers for the empirical distribution of ancestral trajectories. It ensures that the empirical measure converges to the mean value of the spine which is a time-inhomogeneous Markov process describing the trait of a typical individual along its ancestral lineage. Our approach relies on ergodicity arguments for this time-inhomogeneous Markov process. We apply this technique on the example of a size-structured population with exponential growth in varying environment.

研究の動機と目的

• 構造的分岐マルコフ過程における祖先線路の経験的測度に対する大数の法則を確立すること。
• 個体の特性がマルコフ過程に従って変化し、その変化が分裂率に影響を与える集団の漸近的挙動を分析すること。
• スペクトル理論を避けて、スパイン過程のエルゴード性に依存する収束結果を得るための手法を開発すること。
• 特に変動環境下での収束結果を時非定常ダイナミクスにまで拡張すること。
• 細胞動態における分裂率推定などの統計的推論のための基礎を提供すること。

提案手法

• スパイン技法を用いて、典型祖先線路に沿った特性の変化を時非定常マルコフ過程として特徴付ける。
• スパイン過程のエルゴード性を応用して、経験的測度の収束を確立する。
• 最初のモーメント半群と経験的測度の挙動を関連付けるために「Many-to-One」公式を用いる。
• コルモゴロフの前向き方程式とグロンウォールの不等式を用いて、補助過程の最初の調和モーメントの境界を導出する。
• 伊藤の公式と指数モーメント推定を用いて、一様可積分性とモーメントの境界を確立する。
• 分岐率と遷移核の明示的モーメント境界と比較論法を用いて、主要仮定（A–F）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時非定常ダイナミクス下で、分岐マルコフ過程における祖先線路の経験的分布は、確率的極限に収束するか？
• RQ2 スペクトル理論や固有要素に依存せずに、収束を確立できるか？
• RQ3 祖先線路過程のエルゴード性が、経験的測度に対する大数の法則をどのように保証するか？
• RQ4 時非定常状態において、一様可積分性とモーメント境界を保証する条件は何か？
• RQ5 変動環境下のモデル、例えば時間に依存する成長を示すサイズ構造を持つ集団に対しても、この手法は適用可能か？

主な発見

• 祖先線路の経験的測度は、典型線路を記述する時非定常マルコフ過程（スパイン過程）の平均にほとんど確実に収束する。
• スペクトル分解を要件としない、マルコフ過程と分裂率に関する古典的仮定のもとで収束が成立する。
• 補助過程の最初の調和モーメントは時間に一様に有界であり、スパイン測度の安定性を保証する。
• 伊藤の公式と指数モーメント推定を用いて、集団サイズおよびその2次のモーメントの境界が確立される。
• この手法は、時非定常モデルに適用可能であり、特に変動環境下での指数的成長を示すサイズ構造を持つ集団に対しても適用可能である。
• 正規化された集団サイズの一様可積分性が検証され、大数の法則の有効性が確認された。