[論文レビュー] Ancestral lineages and limit theorems for branching Markov chains

Vincent Bansaye|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 57被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時不変でない環境下における多型分岐マーカフ過程の極限定理を、脊髄分解と一般化された多対一公式を用いて開発し、集団サイズ、特性分布、極値個体の長期的挙動を分析する。主な貢献は、閾値を超える集団の対数的成長率が、環境依存の増殖法則およびマルコフ連鎖的祖先系列と関連して概収率収束することである。

ABSTRACT

We consider a branching model in discrete time where each individual has a trait in some general state space. Both the reproduction law and the trait inherited by the offsprings may depend on the trait of the mother and the environment. We study the long time behavior of the population and the ancestral lineage of typical individuals under general assumptions, which we specify for applications to some models motivated by biology. Our results focus on the growth rate, the trait distribution among the population for large time, so as local densities and the position of extremal individuals. The approach consists in comparing the branching Markov chain to a well chosen (possibly non-homogeneous) Markov chain.

研究の動機と目的

• 一般の状態空間および時不変でない環境下における特性を有する多型分岐マーカフ過程の長期的挙動を分析すること。
• 集団内の成長率、特性分布、局所密度、および極値個体の位置を研究すること。
• 古典的な結果（多対一公式や脊髄分解）を非定常的かつ特性依存の増殖モデルへと拡張すること。
• 成長する閾値を超える集団の対数的サイズに対する概収率収束結果を確立すること。
• 細胞分裂、感染動態、空間的・時間的不均一性を有する生態モデルなどの応用分野における理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 分岐集団上の加法的関数の期待値を、マルコフ的脊髄過程の分布に結びつけるために、一般化された多対一公式を用いる。
• 典型的な個体の祖先系列に条件づけるために脊髄分解を適用し、極値的挙動の分析を可能にする。
• 環境と個体の特性に依存する遷移核を有する、時不変なマルコフ過程を環境および特性の進化をモデル化するために導入する。
• 祖先過程および集団成長の収束を保証するために、増殖法則におけるエルゴディシティおよびモーメント条件を適用する。
• 非再帰的または非定常な特性動的挙動に対処するために、関数 $f_n$ を用いた正規化を採用する。
• 大偏差原理および2次モーメントの上限を用いて、閾値を超える集団サイズの尾部挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増殖法則および環境が時不変でなく、特性依存である場合、集団サイズは時間とともにどのように成長するか？
• RQ2 時間の経過に伴い、集団内における特性の漸近的分布は何か？
• RQ3 極値個体（例：最大の特性を持つ個体）の位置はどのように変化し、その成長率は何か？
• RQ4 典型的な個体の祖先系列はマルコフ過程として記述可能か？また、それは集団の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ5 成長する閾値 $a_n$ を超える集団の対数的サイズに対する概収率収束を保証する条件は何か？

主な発見

• Kimmelのモデルにおいて、$2\gamma > 0$ かつ生存の下で、特性が閾値 $a_n$ を超える個体数の対数的成長率は概収率で $\log(2\gamma)$ に収束する。
• 確率的環境下の分岐ランダムウォークにおいて、$a \geq \mathbb{E}(X)$ かつ $\log(m) > \Lambda(a)$ のとき、$\frac{1}{n}\log Z_n[an,\infty)$ の概収率極限は $\log(m) - \Lambda(a)$ である。ここで $\Lambda$ はランダムウォークのレート関数である。
• 閾値 $a_n$ を超える集団サイズの漸近的挙動は、環境依存の増殖率および基礎となるマルコフ過程の大偏差挙動によって支配される。
• 本手法により、非定常な環境および非i.i.d.な増分を扱えるように、時不変でない設定への脊髄分解および多対一公式の拡張が可能である。
• 定理5における2次モーメント条件は、環境の性質に応じて緩和可能であり、時間変動する増殖を有するモデルへのより広範な適用性を可能にする。
• Kimmelのモデルの弱サブクリティカル領域において、感染細胞の数 $N_n^*$ は、$2\gamma > 0$ ならば生存事象上で $\frac{1}{n}\log N_n^* \to \log(2\gamma)$ となる。