[論文レビュー] A Lichnerowicz Vanishing Theorem for the Maximal Roe Algebra

Hao Guo, Zhizhang Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一様正のスカラー曲率をもつスピン多様体に対する、proper かつ等長的群作用の下で、最大等長的 Roe代数におけるLichnerowiczの消滅定理を確立する。Dirac作用素の最大一様Roe代数内での関数計算を構成し、最大一様インデックスの消滅を示すことにより、著者らは、cocompact性の仮定がなくても、$K$-理論におけるDirac作用素の最大高次インデックスが消えることを示している。

ABSTRACT

We show that if a countable discrete group acts properly and isometrically on a spin manifold of bounded Riemannian geometry and uniformly positive scalar curvature, then, under a suitable condition on the group action, the maximal higher index of the Dirac operator vanishes in K-theory of the maximal equivariant Roe algebra. The group action is not assumed to be cocompact. A key step in the proof is to establish a functional calculus for the Dirac operator in the maximal equivariant uniform Roe algebra. This allows us to prove vanishing of the index of the Dirac operator in K-theory of this algebra, which in turn yields the result for the maximal higher index.

研究の動機と目的

• cocompact性の仮定が不要な設定において、Lichnerowiczの消滅定理を最大等長的Roe代数へ拡張すること。
• 従来のLichnerowicz型の議論を阻害していた、最大Roe代数フレームワーク内での解析的課題に対処すること。
• 一様正のスカラー曲率の下で、$K$-理論におけるDirac作用素の最大高次インデックスの消滅を確立すること。
• 最大等長的一様Roe代数内でのDirac作用素に対する関数計算を、主要な技術的道具として構築すること。
• cocompact性の仮定がなくても、最大高次インデックスが消えることを示し、従来の減少的設定に一般化すること。

提案手法

• 幾何的条件（有界なRiemann幾何、特定の$̳$-作用条件（仮定2.6））を用いて、最大等長的一様Roe代数を定義する。
• Dirac作用素が正則かつ本質的に自己共役作用素として作用する、最大一様Roe代数上のHilbertモジュール構造を構築する。
• 正則性と本質的自己共役性を用いて、最大等長的一様Roe代数内でのDirac作用素に対する関数計算を確立する。
• Fourier変換の緊密な台を持つ正規化関数$χ$を用いて、$χ(D)$から得られる射影により、最大一様インデックスを定義する。
• 関数計算を用いて、一様正のスカラー曲率の下で、最大一様インデックスが消えることを証明する。
• 自然な包含写像と$K$-理論の準同型を介して、一様Roe代数からの消滅結果を、完全な最大等長的Roe代数へと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体が一様正のスカラー曲率をもつとき、最大等長的Roe代数の$K_0(C^*_{\text{max}}(M)^\Gamma)$におけるDirac作用素の最大高次インデックスは$K$-理論的に消えるか？
• RQ2 減少的状況とは異なり、最大Roe代数フレームワーク内での解析的困難を克服できるか、Lichnerowicz型の消滅定理を確立できるか？
• RQ3 幾何的および群論的条件下で、Dirac作用素の関数計算が最大一様Roe代数へ拡張可能となる条件は何か？
• RQ4 最大一様インデックスの消滅が、完全な最大Roe代数における最大高次インデックスの消滅を示唆するのに十分か？
• RQ5 結果をcocompactでない群作用へ拡張できるか、従来のcocompact制限に依存する結果を一般化できるか？

主な発見

• 多様体$M$が一様正のスカラー曲率をもち、幾何的条件を満たすとき、$K_0(C^*_{\text{max}}(M)^\Gamma)$におけるDirac作用素の最大高次インデックスは消える。
• 消滅は、一様正のスカラー曲率の仮定の下で、$K_0(C^*_{\text{max},u}(M;L^2(S))^\Gamma)$における最大一様インデックスの消滅により確立される。
• 正則性と本質的自己共役性に依拠して、最大等長的一様Roe代数内でのDirac作用素に対する関数計算が構築される。
• 群作用のcocompact性の仮定がなくても結果が成り立つため、従来のcocompact制限に依存する定理を一般化する。
• 最大一様Roe代数は最大等長的Roe代数の部分代数であり、一様インデックスの消滅は、完全な最大インデックスの消滅を示す。
• 証明は、cocompactでない設定における$K$-理論的不変量の計算に新たな手法を提供し、非コンパクト多様体上のインデックス理論への応用がある。