[論文レビュー] A linearized stabilizer formalism for systems of finite dimension

Niel de Beaudrap|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の有限次元 $d \geq 2$ のクワイッド系に対して、離散ウェイル演算子を用いてパウリに類似した操作を表現し、2次位相依存性を排除する線形化された安定化子形式を導入する。この形式により、測定回数が定数である安定化子回路のシミュレーションが複雑性クラス $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ に完全であることを証明し、$O(\log(n)^2)$-深さのブール回路を用いて実装可能であり、線形代数を用いた効率的な古典的シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

The stabilizer formalism is a scheme, generalizing well-known techniques developed by Gottesman [quant-ph/9705052] in the case of qubits, to efficiently simulate a class of transformations ("stabilizer circuits", which include the quantum Fourier transform and highly entangling operations) on standard basis states of d-dimensional qudits. To determine the state of a simulated system, existing treatments involve the computation of cumulative phase factors which involve quadratic dependencies. We present a simple formalism in which Pauli operators are represented using displacement operators in discrete phase space, expressing the evolution of the state via linear transformations modulo D <= 2d. We thus obtain a simple proof that simulating stabilizer circuits on n qudits, involving any constant number of measurement rounds, is complete for the complexity class coMod_{d}L and may be simulated by O(log(n)^2)-depth boolean circuits for any constant d >= 2.

研究の動機と目的

• 任意の次元 $d \geq 2$ のクワイッドに対する既存の安定化子形式における2次位相依存性を排除すること。
• 離散ウェイル演算子に基づく一様な形式を構築し、$D \in \{d, 2d\}$ を法とする線形変換に帰着させること。
• 測定回数が定数である安定化子回路のシミュレーションが、複雑性クラス $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ に完全であることを証明すること。
• アーロンソンとゴッタースマン（2004年）のqubitに関する複雑性理論的結果を、任意のクワイッド次元に拡張すること。

提案手法

• 2次位相因子を避けるために、$\sigma_x^a \sigma_z^b$ の代わりに離散ウェイル演算子をパウリ演算子の表現に用いる。
• $d$ が奇数の場合は $D = d$、$d$ が偶数の場合は $D = 2d$ とし、$\mathbb{Z}_D$ 上の対称群 $\operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ の群表現としてクリフォード群を定義する。
• 拡張されたテーブル形式を用いて、ユニタリ操作および測定の下での状態の進化を線形変換として追跡する。
• 測定の更新を $D$ を法とする線形方程式系として定式化し、効率的なシミュレーションを可能にする。
• 安定化子回路のシミュレーションが、$D$ を法とする線形方程式系の解法に還元されることを証明し、複雑性解析を簡素化する。
• 偶数および奇数の $d$ を一様に取り扱えるようにし、Gottesman（1998年）やHostensら（2005年）の先行研究における非一様性を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クワイッドの安定化子形式を、2次位相依存性を排除し、線形代数に完全に依存する形に再定式化できるか？
• RQ2 測定回数が定数である安定化子回路のシミュレーションが、任意の有限次元 $d \geq 2$ において $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ に完全であるか？
• RQ3 任意の固定された $d \geq 2$ に対して、安定化子回路のシミュレーションの複雑性が $O(\log(n)^2)$-深さのブール回路によって抑えられるか？
• RQ4 高次元クワイッド系における測定操作を、高次元空間における線形変換としてどのようにモデル化できるか？
• RQ5 クリフォード群と対称群の間の関係を、すべての $d \geq 2$ に対して明示的かつ一様に記述できるか？

主な発見

• 本稿は、測定ラウンド数が定数である $n$ クワイッドの安定化子回路のシミュレーションが、任意の固定された $d \geq 2$ に対して複雑性クラス $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ に完全であることを確立した。
• このような回路のシミュレーションは $O(\log(n)^2)$-深さのブール回路を用いて実現可能であり、$\mathsf{NC}^2$ に属する。
• 離散ウェイル演算子を基底として用いることで、2次位相依存性が完全に排除され、すべての操作が $D \in \{d, 2d\}$ を法とする線形変換として記述可能になる。
• クリフォード群が対称群 $\operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ の群表現として作用することを示し、形式に明確な代数的構造を与えた。
• 拡張されたテーブル形式により、測定下での状態進化が直接的かつ線形に表現可能となり、合成次元における先行研究のギャップを解消した。
• 偶数および奇数の $d$ を一様に取り扱えるようにし、Gottesman（1998年）やHostensら（2005年）の先行形式における非一様性を解消した。