[論文レビュー] A Liouville Theorem on the PDE $\det(f_{i\bar j})=1$

An-Min Li, Sheng Li|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素ヒッセー方程式 $\det(f_{i\bar j}) = 1$ に対して、$\mathbb{C}^n$ 上で滑らかな擬・シュレーディンガー解について、リウヴィル型定理を確立する。関連するケーラー計量 $\omega_f$ の完備性と、多項式的成長評価 $C^{-1}(1+|z|^2) \leq f \leq C(1+|z|^2)$ の下で、著者らは $f$ が二次多項式とアフィン同値であることを証明する。これは、点での漸近展開を仮定するより弱い仮定のもとで、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $f$ be a smooth plurisubharmonic function which solves $$ \det(f_{i\bar j})=1\;\;\;\;\;\;\mbox{in }Ω\subset \mathbb C^n.$$ Suppose that the metric $ω_{f}=\sqrt{-1}f_{i\bar j}dz_{i}\wedge d\bar z_{j}$ is complete and $f$ satisfies the growth condition $$ C^{-1}(1+|z|^2)\leq f\leq C(1+ |z|^2),\;\;\;\; as\;\;\; |z| o \infty. $$ for some $C>0,$ then $f$ is quadratic.

研究の動機と目的

• 従来の結果よりも弱い成長条件の下で、$\mathbb{C}^n$ 上の複素ヒッセー方程式 $\det(f_{i\bar j}) = 1$ に対してリウヴィル型定理を確立すること。
• シュエケリヒディが提起した問い、すなわち、有界な成長が、完備計量を持つ解に対して2次構造を強いるのかどうかを解明すること。
• 計量の完備性と2次成長の下で、$f$ の混合2階微分が定数であることを証明し、それによって $f$ が2次多項式とアフィン同値であることを導くこと。
• 王の結果（$f = |z|^2 + o(|z|^2)$ を要請）を、両側の2次境界にまで拡張すること。
• 共変微分を含む新たな不変量 $D$ を導入し、$D$ に点での有界性を与える条件下で、2番目のリウヴィル定理を確立すること。

提案手法

• 線形変換 $\dot{f} = f/C^2$, $\dot{z} = z/C$ を用いたスケーリングによる正規化を行い、無限遠における挙動を解析する。
• Chen, Li, および Sheng (2013) の勾配推定を適用し、リッチ曲率の有界性に基づいて $\|\nabla \dot{f}\|_{\dot{f}}^2 / (1 + \dot{f})^2$ を評価する。
• Euclid計量 $g_{i\bar j}$ を用いて $T = \sum f^{i\bar j} g_{i\bar j}$ を定義し、最大値原理を用いてその一様有界性を証明する。
• 重み付き関数 $\mathbf{F} = \exp(-b/(b-f)) \cdot \|\nabla f\|_f^2 / (1+f)^2$ を導入し、勾配を制御し、部分レベル集合の境界への測地的距離の下界を導出する。
• 成長条件と完備性の仮定のもとで、計量 $\omega_f$ が完備であることを証明し、これにより Corollary 1.3 を適用可能にする。
• 修正された量 $S = \sum |f_{i\bar j}|^2$ に対して最大値原理を適用し、$S \equiv 0$ を示す。これにより、すべての2階微分が定数であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな擬・シュレーディンガー解 $f$ が $\mathbb{C}^n$ 上で $\det(f_{i\bar j}) = 1$ を満たし、$C^{-1}(1+|z|^2) \leq f \leq C(1+|z|^2)$ を満たし、計量 $\omega_f$ が完備であるとき、混合2階微分 $f_{i\bar j}$ は必ず定数であるか？
• RQ2 点での漸近展開を仮定しないで、両側の2次成長境界のもとで、$\det(f_{i\bar j}) = 1$ のリウヴィル定理を確立できるか？
• RQ3 不変量 $D = \sum f^{i\bar k} f^{j\bar l} f_{,ij} f_{,\bar k\bar l}$ が $C(1+f)^2$ で有界であることは、$f$ が2次多項式とアフィン同値であることを強制するか？
• RQ4 無限遠で $f \geq \varepsilon |z|^2$ が成り立つことと、計量の完備性を組み合わせると、$f$ が2次関数であることが保証されるか？
• RQ5 成長条件と $D$-有界性から、$\omega_f$ の完備性を示すことができ、これにより先行研究の結果を適用可能になるか？

主な発見

• Theorem 1.2 の仮定（$f$ が無限遠で $\varepsilon |z|^2$ 以上であることと、$\omega_f$ が完備であること）のもとで、すべての混合2階微分 $f_{i\bar j}$ が定数である。
• Corollary 1.3 は、$f$ が $C^{-1}|z|^2 \leq f \leq C|z|^2$ を満たし、$\omega_f$ が完備であるならば、$f$ は2次多項式とアフィン同値であることを示している。
• Theorem 1.4 は、$f$ が $\mathbb{C}^n$ 上で定義され、2次成長境界を満たし、$D \leq C(1+f)^2$ が成り立つならば、$f$ は2次多項式とアフィン同値であることを示している。
• Theorem 1.4 の証明から、$D$-有界性が $\omega_f$ の完備性を意味することを示しており、これにより Corollary 1.3 への還元が可能である。
• スケーリングと $S = \sum |f_{i\bar j}|^2$ に対する最大値原理の組み合わせにより、$S$ が非ゼロであると矛盾が生じるため、$S \equiv 0$ が証明される。
• $\|\nabla f\|_f^2 / (1+f)^2 \leq \mathsf{C}_9$ という勾配推定が、部分レベル集合全体に一様に導かれる。これにより、$S_f(0,b)$ の境界への測地的距離が $\log b$ のオーダーで増大し、$\omega_f$ が完備であることが示される。