[論文レビュー] A lower bound for bounded round quantum communication complexity of set disjointness

Rahul Jain, Jaikumar Radhakrishnan+1 more|ArXiv.org|Mar 22, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、kラウンドの有界誤差モデルにおける集合の互いに素な問題の量子通信複雑度に対して、Ω(n/k²)のタイトな下界を確立している。これは、Bar-Yossefらの古典的議論の情報理論的適合版を用いたものであり、既存の境界を改善し、k = 1の場合に最良のO(√n)上界と一致する。これは、複数ラウンド設定において、量子プロトコルがこの限界を著しく下回る通信量を達成できないことを示している。

ABSTRACT

We consider the class of functions whose value depends only on the intersection of the input X_1,X_2, ..., X_t; that is, for each F in this class there is an f_F: 2^{[n]} o {0,1}, such that F(X_1,X_2, ..., X_t) = f_F(X_1 \cap X_2 \cap ... \cap X_t). We show that the t-party k-round communication complexity of F is Omega(s_m(f_F)/(k^2)), where s_m(f_F) stands for the `monotone sensitivity of f_F' and is defined by s_m(f_F) \defeq max_{S\subseteq [n]} |{i: f_F(S \cup {i}) eq f_F(S)|. For two-party quantum communication protocols for the set disjointness problem, this implies that the two parties must exchange Omega(n/k^2) qubits. For k=1, our lower bound matches the Omega(n) lower bound observed by Buhrman and de Wolf (based on a result of Nayak, and for 2 <= k <= n^{1/4}, improves the lower bound of Omega(sqrt{n}) shown by Razborov. (For protocols with no restrictions on the number of rounds, we can conclude that the two parties must exchange Omega(n^{1/3}) qubits. This, however, falls short of the optimal Omega(sqrt{n}) lower bound shown by Razborov.)

研究の動機と目的

• 有界ラウンドモデルにおける集合の互いに素な問題の量子通信複雑度に対して強い下界を確立すること。
• Bar-Yossef らの古典的情報理論的技法を、複数参加者および2人用通信に拡張し、量子設定に適応すること。
• 交差に基づく関数の量子通信複雑度を決定づけるモノトーン感度の役割を分析すること。
• 限られたラウンド数を持つ量子プロトコルについて、既知の上界と下界のギャップを埋めること。
• 量子優位性が通信複雑度においてラウンド数に制限されることを示すこと、特に集合の互いに素な問題において。

提案手法

• トレース距離と忠実度の境界を用いて、Bar-Yossef らの情報理論的枠組みを量子通信モデルに適応する。
• ユニタリ変換を用いて、ラウンド間での量子状態の進化を関連づけ、入力の変化に起因する変化をモデル化する。
• トレースノルムの不等式とユニタリ不変性を適用して、異なる入力における量子状態間の距離を束縛する。
• 相互情報量制約からの誤差項c_A^iとc_B^iを用いて、状態の分散δ_iに関する再帰的束縛を導入する。
• 4乗根関数の凹性を活用して、kラウンド後の状態分散の累積的束縛を導出する。
• Fact 3とLemma 3を用いて、最終状態の距離とプロトコル誤差を関連づけ、通信コストの下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界誤差で集合の互いに素な問題を解くkラウンドプロトコルに必要な最小の量子通信コストは何か？
• RQ2 基礎となる関数f_Fのモノトーン感度s_m(f_F)は、量子通信複雑度とどのように関係するか？
• RQ3 古典的通信複雑度における情報理論的手法を、タイトな量子下界を導出するために効果的に量子設定に適応できるか？
• RQ4 ラウンド数kが集合の互いに素な問題の量子通信複雑度にどのように影響するか？
• RQ5 ラウンド数が増加するにつれて、通信複雑度における量子優位性は減少するか？

主な発見

• 本稿は、kラウンドの集合の互いに素な問題の量子通信複雑度に対して、Ω(n/k²)の下界を確立している。
• k = 1の場合、この下界はBuhrmanとde WolfによるΩ(n)の下界と一致し、1ラウンドの場合にタイトであることを確認している。
• 2 ≤ k ≪ n^{1/4}の場合、この下界はRazborovのΩ(√n)の下界を改善しており、量子プロトコルに対するより強い制限を示している。
• この結果は、集合の互いに素な問題に対する任意の2人用有界誤差量子プロトコルが、無制限ラウンドの場合にΩ(n^{1/3})量子ビットを通信しなければならないことを示唆している。
• この下界は、量子状態のトレースノルムとユニタリ不変性を用いた古典的議論の適応によって得られている。
• 分析により、情報理論的制約の本質的性質により、複数ラウンドであっても、O(√n)を超える通信量の低減は達成できないことが示されている。