[論文レビュー] A Markov chain on permutations which projects to the PASEP

Sylvie Corteel, Lauren Williams|ArXiv.org|Sep 6, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分的に非対称排除過程（PASEP）に射影される置換テーブルックス上のマルコフ連鎖（PT連鎖）を導入し、行列アンザッツを用いない組合せ論的証明を通じて、PASEPの定常分布が置換テーブルックスの重みの母関数として与えられることを示す。PT連鎖は、PASEPの粒子-空孔双対性を拡張する隠れた対称性を明らかにし、置換テーブルックスへの双対写像を通じてPASEPの背後にある代数的組合せ論的構造を新たな視点から解明する。

ABSTRACT

The partially asymmetric exclusion process (PASEP) is an important model from statistical mechanics which describes a system of interacting particles hopping left and right on a one-dimensional lattice of N sites. It is partially asymmetric in the sense that the probability of hopping left is q times the probability of hopping right. Additionally, particles may enter from the left with probability alpha and exit from the right with probability beta. It has been observed that the (unique) stationary distribution of the PASEP has remarkable connections to combinatorics -- see for example the papers of Derrida, Duchi and Schaeffer, and Corteel. Most recently we proved that in fact the (normalized) probability of being in a particular state of the PASEP can be viewed as a certain weight generating function for permutation tableaux of a fixed shape. (This result implies the previous combinatorial results.) However, our proof relied on the matrix ansatz of Derrida et al, and hence did not give an intuitive explanation of why one should expect the steady state distribution of the PASEP to involve such nice combinatorics. In this paper we define a Markov chain -- which we call the PT chain -- on the set of permutation tableaux which projects to the PASEP in a very strong sense. This gives a new proof of our previous result which bypasses the matrix ansatz altogether. Furthermore, via the bijection from permutation tableaux to permutations, the PT chain can also be viewed as a Markov chain on the symmetric group. Another nice feature of the PT chain is that it possesses a certain symmetry which extends the "particle-hole symmetry" of the PASEP. More specifically, this is a graph-automorphism on the state diagram of the PT chain which is an involution; this has a simple description in terms of permutations.

研究の動機と目的

• PASEPの定常分布を行列アンザッツに依存せずに、組合せ論的証明で得ること。
• PASEPに射影される置換テーブルックス上のマルコフ連鎖（PT連鎖）を定義し、その動的性質を保つこと。
• PT連鎖上の対合写像を通じて、PASEPの構造的対称性を拡張し、粒子-空孔双対性の拡張を明らかにすること。
• 固定形状の置換テーブルックスの重み生成関数とPASEPの定常確率の直接的な関係を確立すること。

提案手法

• 置換テーブルックス上のマルコフ過程としてPT連鎖を定義し、PASEPにおける粒子の移動（挿入、排出、ホップ）に対応する遷移を導入する。
• 置換テーブルックスからPASEP状態への全射的射影写像を構築し、PT連鎖の動的性質がPASEPの動的性質を忠実に射影することを保証する。
• 写像Φによる置換テーブルックスと置換の間の双対写像を用い、PT連鎖を対称群S_{N+1}上のマルコフ連鎖として再解釈する。
• PT連鎖の状態図に、粒子と空孔の役割を入れ替える対合写像を定義し、PASEPの粒子-空孔双対性を一般化する。
• 置換テーブルックスにα, β, qに関するローレンツ単項式として重みを割り当て、各テーブルックスの定常確率がその重みに等しくなるようにする。
• PT連鎖の遷移確率がPASEPの動的性質と整合しており、定常分布が既知の生成関数と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PASEPの定常分布は、行列アンザッツを用いずに、置換テーブルックス上のマルコフ連鎖を用いて組合せ論的に導出可能か？
• RQ2 PASEPと置換テーブルックスの間の構造的関係は何か？ そして、マルコフ連鎖の射影としてどのように形式化できるか？
• RQ3 PT連鎖は、PASEPに既知の粒子-空孔双対性を拡張する対称性を有するか？
• RQ4 置換テーブルックスと置換の間の双対写像Φにより、PT連鎖が対称群S_{N+1}上のマルコフ連鎖としてどのように解釈可能か？
• RQ5 PASEPの正しい定常確率を与えるために、置換テーブルックスにどのような正確な重み割り当てを行うべきか？

主な発見

• PT連鎖は、PASEP状態空間への射影が元のPASEPの動的性質を正確に再現する置換テーブルックス上のマルコフ連鎖である。
• PT連鎖の定常分布は、各置換テーブルックスにその重み（α, β, qに関するローレンツ単項式）に等しい確率を割り当てる。
• PT連鎖は、CorteelとWilliams（2006）の主結果を行列アンザッツに依存せずに、新たな組合せ論的証明を提供する。
• PT連鎖は、粒子と空孔の役割を入れ替える対合を備えており、PASEPの粒子-空孔双対性を一般化する。
• この対合は、置換テーブルックス上で自然な変換として実現される：共役と要素の補完、および形状の調整を含む。
• 写像Φを通じて、PT連鎖は対称群S_{N+1}上のマルコフ連鎖と同型であることが示され、PASEPの定常分布に対する新たな代数的解釈が得られる。