[論文レビュー] Generalized pattern avoidance with additional restrictions

Sergey Kitaev|ArXiv.org|May 20, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、置換の最初または最後の $k$ 要素に追加制約を課した一般化された順列パターン回避を調査する。パターン回避置換と構造的セット分割の間の双対性を確立し、指定された初期または終端の増加・減少部分列を伴う3文字一般化パターンを回避する置換の数の指数型母関数（e.g.f.）を導出する。主な結果として、$1-32$-回避 $n$-置換で $12\ldots k$ で終わるものの個数はベル数の線形結合であることが示される。

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider n-permutations that avoid the generalized pattern 1-32 and whose k rightmost letters form an increasing subword. The number of such permutations is a linear combination of Bell numbers. We find a bijection between these permutations and all partitions of an $(n-1)$-element set with one subset marked that satisfy certain additional conditions. Also we find the e.g.f. for the number of permutations that avoid a generalized 3-pattern with no dashes and whose k leftmost or k rightmost letters form either an increasing or decreasing subword. Moreover, we find a bijection between n-permutations that avoid the pattern 132 and begin with the pattern 12 and increasing rooted trimmed trees with n+1 nodes.

研究の動機と目的

• 右端または左端の $k$ 要素が増加または減少するという追加制約を課した $n$-置換の一般化3パターン回避を調査すること。
• $1-32$-回避置換で $12\ldots k$ で終わるものの間の双対性を、特定の条件下で1つの部分集合がマークされた $(n-1)$-要素集合の分割に確立すること。
• 3文字一般化パターン（ダッシュなし）を回避し、先頭または末尾に長さ $k$ の単調部分語を含む置換の個数の指数型母関数（e.g.f.）を導出すること。
• 初期／終端制約付きの特定のパターン回避問題が、複数の古典的パターンの同時回避に等価であることを示すこと。
• このような置換の列挙を、増加根付き trimmed 木やセット分割といった組合せ的構造と関連づけること。

提案手法

• 置換を、前綴 $\sigma$、1、および増加する接尾辞 $\tau$ に再帰的に分解し、二項係数とベル数の和を導出する。
• クラッセオン（2002年）の既知の結果を適用し、$1-32$ を回避する $i$-置換の個数が $i$ 番目のベル数 $B_i$ に等しいことを利用し、前綴に要素を選択する二項係数と組み合わせる。
• 最大要素 $n+1$ の配置を分析することで指数型母関数の微分方程式を導出し、既知の母関数と関連付ける。
• 関係するクラスの母関数を表す $D(x)$ に対して $T'(x) = D(x) + 1$ を満たす関数 $T(x)$ を導入し、母関数の再帰的関係を解くために用いる。
• 逆転、補完、およびそれらの合成といった自明な対称性を適用し、同値なパターンクラスへの結果の拡張を行う。
• 特に $\int_0^x e^{-t^2/2} dt$ および関連する有理関数を含む、繰り返し積分と指数積分を用いて e.g.f. を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化パターン $1-32$ を回避し、増加部分語 $12\ldots k$ で終わる $n$-置換の個数は何か？
• RQ2 このような置換は、マークされた部分集合の位置に関する特定の構造的制約を満たす $(n-1)$-要素集合の分割とどのように双対的に関係するか？
• RQ3 3文字一般化パターン（ダッシュなし）を回避し、先頭または末尾に長さ $k$ の単調部分語を含む $n$-置換の個数の指数型母関数は何か？
• RQ4 $132$-回避 $n$-置換で $12$ で始まるものの個数は、木構造の組合せ的解釈を持つだろうか？
• RQ5 追加制約（例：$12\ldots k$ で始まる）により、単一パターン回避が複数パターンの同時回避にどのように変換されるか？

主な発見

• 一般化パターン $1-32$ を回避し、$12\ldots k$ で終わる $n$-置換の個数は $\sum_{i=0}^{n-k} \binom{n-1}{i} B_i$ であり、ベル数の線形結合である。
• これらの置換と、マークされた部分集合が特定の条件を満たす $(n-1)$-要素集合の分割との間の双対性が確立された。
• $(n-1)$-要素集合の分割で1つの部分集合がマークされたものの総数は、$1-32$-回避 $n$-置換で $12$ で終わるものの個数に等しく、ベル数と第二種スターリング数を含む新しい恒等式が得られた。
• $132$-回避 $n$-置換で $12$ で始まるものの個数は、$n+1$ 個のノードを持つ増加根付き trimmed 木の個数に等しい。
• $k \geq 2$ のとき、$132$-回避 $n$-置換で $12\ldots k$ で始まるものの e.g.f. は、$T(x)$ と $C_k(x)$ を含むネストされた積分表現で与えられ、$T(x) = -x^2/2 + \int_0^x \frac{e^{-t^2/2}}{1 - \int_0^t e^{-s^2/2} ds} dt$ である。
• パターン $123$ を回避し、$12\ldots k$ で終わる置換の e.g.f. は、$k=1$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{e^{x/2}}{\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi}{6})}$ であり、他のパターンや $k$ 値に対しても類似の式が得られる。