[論文レビュー] A Maslov Map for Coisotropic Submanifolds, Leaf-wise Fixed Points and Presymplectic Non-Embeddings

Fabian Ziltener|ArXiv.org|Nov 7, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体内のコイソトロピック部分多様体に対して、実数値のマスロフ写像を導入する。これは、標準的な境界データが不十分な場合に、特徴的分布のモノドロミーを記述する同調的foliationのホロノミーを組み込むことで、古典的なラグランジュマスロフ指数を一般化するものである。特に、コイソトロピック部分多様体の余次元が環境多様体次元の半分未塔の場合に、ハミルトニアン微分同相写像の葉ごとの固定点数に対する下界を、単調性および幾何的有界性の仮定のもとで確立する。この結果として、新しいプレシンプレクティック埋め込みの障害と、アディン予想のコイソトロピック版が得られる。

ABSTRACT

Let $(M,ω)$ be a symplectic manifold, $N\subseteq M$ a coisotropic submanifold, and $Σ$ a compact oriented (real) surface. I define a natural Maslov index for each continuous map $u:Σ o M$ that sends every connected component of $\partialΣ$ to some isotropic leaf of $N$. This index is real valued and generalizes the usual Lagrangian Maslov index. The idea is to use the linear holonomy of the isotropic foliation of $N$ to compensate for the loss of boundary data in the case codimension $N

研究の動機と目的

• 余次元が環境多様体次元の半分未塔である場合に、シンプレクティック多様体内のコイソトロピック部分多様体に対して、標準的な境界データが不十分な状況でも一般化されたマスロフ指数を定義すること。
• 幾何的に有界で単調かつ正則なコイソトロピック部分多様体上でハミルトニアン微分同相写像の葉ごとの固定点数に対する下界を確立すること。
• 新しいマスロフ写像と固定点の境界を活用して、プレシンプレクティック埋め込みの新たな障害を導出すること。
• ラグランジュ部分多様体の固定点理論をコイソトロピック設定に拡張する、アディン予想のコイソトロピック版を証明すること。

提案手法

• マスロフ写像は、シンプレクティック自己同型群内のパスのサラモン＝ツェンダー平均マスロフ指数を、コイソトロピック部分多様体の同調的foliationに適応することで構成される。
• 境界データの欠落を補うために、特徴的分布のモノドロミーを記述する同調的foliationの線形ホロノミーが用いられ、これにより一貫性のあるマスロフ指数が定義可能となる。
• 写像は、コンパクトで向き付けられた曲面から環境多様体への連続写像のホモトピー類に定義され、境界成分が同調的葉へ写像される。
• マスロフ指数の連続性は、コンパクト開位相と円周上の巻き数写像の連続性を用いて確立される。
• 証明は、平坦線形輸送の群体的枠組みと、変形 deformation retraction を用いた商空間への写像のホモトピー分類に依存する。
• 重要な技術的道具として、適合するホモトピー類の空間間のホメオモルフィズムの構成が行われ、これにより、上昇と適合条件を介したマスロフ写像の定義が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体内の任意の余次元のコイソトロピック部分多様体に対して、古典的マスロフ指数をどのように一般化できるか？
• RQ2 境界データが不十分な状況で、同調的foliationのホロノミーが一貫性のあるマスロフ指数を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 単調性および幾何的有界性の仮定のもとで、葉ごとの固定点数に対する下界を確立できるか？
• RQ4 この一般化されたマスロフ指数から、どのような新しいプレシンプレクティック埋め込みの障害が生じるか？
• RQ5 ラグランジュ部分多様体の固定点理論をコイソトロピック設定に拡張する、アディン予想のコイソトロピック版は成立するか？

主な発見

• コンパクトで向き付けられた曲面からシンプレクティック多様体への連続写像に対して、実数値のマスロフ写像が定義され、境界成分がコイソトロピック部分多様体の同調的葉へ写像される。
• マスロフ写像は古典的なラグランジュマスロフ指数を一般化し、$N = M$ の場合に初めてのチャーン類の2倍を回復する。
• $N$ が幾何的に有界で単調な場合、ハミルトニアン微分同相写像の葉ごとの固定点数に対する下界が確立される。
• 本稿では、アディン予想のコイソトロピック版が証明され、固定点理論がコイソトロピック部分多様体へ拡張される。
• 単調性に置き換えて、従来のアスフェリシティ条件を排除する、新しいプレシンプレクティック埋め込みの障害が導出される。
• マスロフ写像はコンパクト開位相に関して連続であり、微小な摂動に対しても安定性が保証される。