[論文レビュー] A model structure on the category of small categories for coverings

Kohei Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、小カテゴリの圏に「1型モデル構造」と呼ばれるモデル構造を確立する。この構造では、ファイブレント対象が群ガロア群であり、ファイブレント置換は群ガロア化に対応する。小カテゴリにおける被覆が、離散的ファイバーを持つファイブレーションとちょうど一致することを示し、このモデル構造における関手的分解から、普遍被覆と群ガロア化が自然に導かれる。これにより、カテゴリー的被覆とホモトピー論が、単体的集合および位相空間とのクィレン同値性を通じて結びつけられる。

ABSTRACT

We define a new model structure on the category of small categories, which is intimately related to the notion of coverings and fundamental groups of small categories. Fibrant objects in the model structure coincide with groupoids, and the fibrant replacement is the groupoidification.

研究の動機と目的

• 被覆のホモトピー論的性質を捉えることができる、小カテゴリの圏におけるモデル構造を定義すること。
• このモデル構造におけるファイブレント対象がちょうど群ガロア群であること、およびファイブレント置換が群ガロア化に対応することを示すこと。
• 小カテゴリにおける被覆を、離散的ファイバーを持つファイブレーションとして特徴づけ、被覆空間論の圏論的類似を確立すること。
• 普遍被覆および群ガロア化関手が、モデル構造における関手的分解から自然に生じることを示すこと。
• 小カテゴリにおける1型モデル構造と、単体的集合および位相空間における対応するモデル構造との間でクィレン同値性を確立すること。

提案手法

• 小カテゴリの圏 Cat における1型モデル構造を、ジョイアル＝ティアーニーのモデル構造の左ボウスフィールド局域化として構成する。
• 弱同値を弱1同値とし、被覆をオブジェクトにモノイド的関手とし、ファイブレーションを群ガロア群に沿ったファイバー化およびコファイバー化の両方を満たす関手とする。
• ナーヴ関手 N とカテゴリフィケーション関手 c を用いて、Cat におけるモデル構造と単体的集合および位相空間におけるモデル構造との関係を確立する。
• Cat における1型モデル構造と単体的集合における1型モデル構造との間で、随伴対 (c, N) がクィレン同値性をなすことを示す。
• 任意のカーン複体 X に対して、cX が群ガロア群であるという事実を用いて、X → NcX なる余単位写像が弱1同値であることを証明する。
• 関手的分解を用いて普遍被覆を構成し、群ガロア化をモデル圏におけるファイブレント置換として記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小カテゴリにおけるモデル構造を定義可能であり、ファイブレント対象が群ガロア群であり、ファイブレント置換が群ガロア化に対応するようにできるか？
• RQ2 小カテゴリにおける被覆は、1型モデル構造におけるファイブレーションとどのように関係するか？
• RQ3 小カテゴリにおける1型モデル構造と、単体的集合および位相空間における1型モデル構造との間の関係は何か？
• RQ4 小カテゴリにおける普遍被覆は、このモデル構造における関手的分解によって構成可能か？
• RQ5 小カテゴリと単体的集合との随伴が、1型モデル構造に制限した場合にクィレン同値性をなすか？

主な発見

• 小カテゴリにおける1型モデル構造は、ジョイアル＝ティアーニーのモデル構造の左ボウスフィールド局域化であり、弱同値は弱1同値として定義される。
• 1型モデル構造における対象がファイブレントであることは、それが群ガロア群であることと同値であり、ファイブレント置換が群ガロア化であることが確認される。
• 関手が Cat における被覆であることは、それが離散的ファイバーを持つファイブレーションであることと同値であり、被覆のホモトピー的特徴づけが得られる。
• Cat における普遍被覆および群ガロア化関手は、両方ともモデル構造における関手的分解によって記述され、ホモトピー論的構成と結びつけられる。
• 単体的集合と小カテゴリとの間の随伴 (c, N) は、1型モデル構造に制限した場合にクィレン同値性をなす。これにより、Cat₁ と SSet₁ の間のクィレン同値性が確立される。
• 任意のカーン複体 X に対して、余単位写像 X → NcX は弱1同値であり、この事実が Cat₁ と SSet₁ の間のクィレン同値性の根拠となっている。