[論文レビュー] A-models in three and four dimensions

Anton Kapustin, Ketan Vyas|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、3次元トポロジカル場理論（3次元Aモデル）を、2次元Aモデルの類似物として構築する。この理論は、ボソン的場が3次元多様体から実多様体Xへの写像であり、その場が引き戻し接ベクトル bundle に値をとる1形式であるBRST完全作用から定義される。この理論は、区間上でのコンパクト化により$T^*X$上で2次元Aモデルに還元され、4次元Aモデルは4次元ミンコフスキー空間における$ olimits=2$線形$ olimits$-モデルのねじりにより拡張され、3次元ミラー対称性および幾何学的ラングランズ双対性のフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We introduce and study a new 3d Topological Field Theory which can be associated to any compact real manifold X. This TFT is analogous to the 2d A-model and reduces to it upon compactification on an interval with suitable boundary conditions. It plays a role in 3d mirror symmetry as well as in the physical approach to the geometric Langlands duality. A similar TFT can be defined in four dimensions.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上で定義され、実多様体$X$をターゲットとする2次元Aモデルの類似物として3次元トポロジカル場理論を構築すること。
• 補助場を導入することで、非オフシェルでBRST作用素の冪等性を保証するBRST完全作用を定義すること。
• 適切な境界条件の下で区間上でのコンパクト化により、3次元Aモデルが$T^*X$上で2次元Aモデルに還元されることを示すこと。
• 4次元ミンコフスキー空間における$ olimits=2$線形$ olimits$-モデルのねじりにより、4次元Aモデルへの構成を拡張すること。
• 3次元Aモデルが3次元ミラー対称性および幾何学的ラングランズ双対性の物理的アプローチにおいて重要であることを確立すること。

提案手法

• 3次元Aモデルは、ボソン的場$\phi: M \to X$および$\tau \in T^*M \otimes \phi^*TX$、フェルミオン的場$\eta, \beta, \psi, \chi$を含み、補助場$P$および$\tilde{P}$の導入により$\delta^2 = 0$がオフシェルで閉じるBRST変換を持つ。
• 作用は$S = \tilde{S} + S_{\text{top}}$として構成され、$\tilde{S}$はBRST完全であり、$S_{\text{top}} = \int_M D\tilde{\tau}_i \wedge d\phi^i$はトポロジカル項であり、ボソン的作用の病理的項をキャンセルする。
• BRST変換は3次元$ olimits=2$理論のスペーシュア代数から導出され、補助場により$\delta^2 = 0$が明示的に保証される。
• 4次元Aモデルは、4次元ミンコフスキー空間における$ olimits=2$線形$ olimits$-モデルのねじりにより構成され、$SU(2)_L$回転対称性と$SU(2)_{\mathcal{R}} \times SU(2)_X$の対角部分群が用いられる。
• ねじった場の内容にはスカラー$\sigma^I$、自己双対でない2形式$\tau^{I-}_{\mu\nu}$、フェルミオン$\eta^I, \psi^{I-}_{\mu\nu}, \chi^I_\mu$が含まれ、$SU(2)_{L'} \times SU(2)_R$に従って変換する。
• 4次元作用は$S = \int_{\mathbb{R}^4} \left( \frac{1}{4}\delta_{IJ}\partial^\mu \sigma^I \partial_\mu \sigma^J + \delta_{IJ}\partial^\nu \tau^{I-}_{\mu\nu} \partial_\lambda \tau^{J\mu\lambda -} + \frac{i}{2}\delta_{IJ}\chi^I_\mu \partial^\mu \eta^J - i\delta_{IJ}\chi^\mu \partial_\nu \psi^{J\mu\nu -} \right)$として導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Aモデルを高次元に一般化する3次元トポロジカル場理論をどのように構築できるか？
• RQ2 補助場が3次元AモデルにおけるオフシェルでのBRST作用素の冪等性を保証する役割は何か？
• RQ3 特定の境界条件の下で区間上でのコンパクト化により3次元Aモデルが2次元Aモデルにどのように還元されるか？
• RQ4 4次元Aモデルの4次元アナログは何か？ そして、4次元$ olimits=2$線形$ olimits$-モデルのねじりによりどのように得られるか？
• RQ5 3次元および4次元Aモデルは3次元ミラー対称性および幾何学的ラングランズ双対性とどのように関係するか？

主な発見

• 3次元Aモデルは、補助場$P$および$\tilde{P}$を含むBRST完全作用により構築され、$\delta^2 = 0$がオフシェルで保証され、BRST対称性が明示的になる。
• 境界条件がトポロジカル構造を保存する区間上でのコンパクト化により、3次元Aモデルは$T^*X$上で2次元Aモデルに還元される。
• 4次元Aモデルは、4次元ミンコフスキー空間における$ olimits=2$線形$ olimits$-モデルのねじりにより得られ、$\sigma^I$, $\tau^{I-}_{\mu\nu}$, $\eta^I$, $\psi^{I-}_{\mu\nu}$, $\chi^I_\mu$といったねじった場の言語で作用が表現される。
• 4次元作用はねじった$SU(2)_{L'} \times SU(2)_R$対称性に関して不変であり、ねじり後の$ olimits=2$スパーシュア代数を満たす。
• 3次元Aモデルは3次元ミラー対称性において中心的な役割を果たし、4次元$N=4$超ヤンミルズ理論の円上でのコンパクト化において出現し、幾何学的ラングランズ双対性と関連する。
• トポロジカル項$S_{\text{top}} = \int_M D\tilde{\tau}_i \wedge d\phi^i$は、双対1形式$\tilde{\tau}_i = g_{ij}\tau^j$を用いて書き直せるため、物理的内容としては計量に依存しない。