[論文レビュー] Surface operators in four-dimensional topological gauge theory and Langlands duality

Anton Kapustin, Kevin Setter+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、GL-twistを施したN=4 SYMを用いて、4次元トポロジカルゲージ理論における表面演算子を分類し、それらの境界条件の2カテゴリがモンテンケン＝オリーブ双対性のもとで同値であることを示しており、幾何的ラングランズ双対性の2カテゴリカルな類似物を提供する。t=iの場合、表面演算子の2カテゴリはゲージ化されたロザンスキー＝ワットンモデルを用いて完全に記述可能である。一方、t=0およびt=1の場合、アーベルの場合に電磁双対性のもとで豊かな構造が現れ、ウィルソン-'t Hooft線の不在にもかかわらず、量子幾何的ラングランズ双対性の枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study surface and line operators in the GL-twisted N=4 gauge theory in four dimensions. Their properties depend on the parameter t which determines the BRST operator of theory. For t=i we propose a complete description of the 2-category of surface operators in terms of module categories. We also determine the monoidal category of line operators which includes Wilson lines as special objects. For t=1 and t=0 we only discuss surface and line operators in the abelian case. Applications to the categorification of the local geometric Langlands duality and its quantum version are briefly described. In the appendices we discuss several 3d and 2d topological field theories with gauge fields. In particular, we explain a relationship between the category of branes in the gauged B-model and the equivariant derived category of coherent sheaves.

研究の動機と目的

• GL-twistを施した4次元N=4超ヤン・ミルズ理論における表面演算子を非局所的観測量として分類・研究すること。
• モンテンケン＝オリーブ双対性が表面演算子およびそれに関連する線型演算子にどのように作用するかを理解すること。
• 4次元トポロジカル場理論の3次元境界理論を用いて、幾何的および量子幾何的ラングランズ双対性の2カテゴリカルな定式化を提供すること。
• 特にt=0, i, 1における3次元TFTの構造を解析し、新規または既知のトポロジカル特徴を明らかにすること。
• 双対ゲージ群GとL Gについて、表面演算子の2カテゴリの同値性を確立すること、特にアーベルの場合のU(1)に注目する。

提案手法

• 複素構造パラメータtをもつGL-twistを用いて、N=4 SYMから4次元トポロジカル場理論（TFT）を構成する。
• 4次元TFTを円周上でのコンパクト化により3次元TFTに還元し、その境界条件の2カテゴリが4次元における表面演算子の2カテゴリに対応することを示す。
• t=iにおける3次元TFTの解析により、これはゲージ化されたロザンスキー＝ワットンモデルであることが判明し、表面演算子の完全な分類が可能となる。
• t=0およびt=1におけるアーベル表面演算子の研究により、3次元理論はあまり馴染みがないが、非自明な双対性作用を有することが判明する。
• さらに区間での還元により得られる2次元TFTを用いて、ブレーンカテゴリおよび欠損線演算子の可逆性を解析する。
• ゲージ化されたBモデルにおけるブレーンのカテゴリを、一貫性のあるベクトル束の導来カテゴリと同一視し、特別な場合にはD^b(Coh(C[2]))と一致することが判明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL-twistを施した4次元N=4 SYM理論における表面演算子はどのように2カテゴリを形成するか。また、この構造はラングランズ双対性とどのように関係するか。
• RQ2 GL-twistパラメータt=iにおける表面演算子の2カテゴリの構造は何か。また、ロザンスキー＝ワットンモデルとどのように関係するか。
• RQ3 t=0およびt=1におけるアーベルの場合に、電磁双対性は表面演算子およびその内部の線型演算子にどのように作用するか。
• RQ4 t=0におけるウィルソン線および't Hooft線の不在は、表面演算子を介して量子幾何的ラングランズ双対性と調和させることができるか。
• RQ5 2次元ゲージ化トポロジカルシグマモデルにおけるブレーンカテゴリと、等化された導来カテゴリとの関係は何か。

主な発見

• t=iの場合、4次元GL-twist理論における表面演算子の2カテゴリは、ゲージ化されたロザンスキー＝ワットンモデルにおける境界条件の2カテゴリとして完全に記述可能である。
• t=0においては、バルク線型演算子が自明であるが、アーベル表面演算子は非自明に電磁双対性作用を受ける豊かな線型演算子のカテゴリを有する。
• U(1)ゲージ理論におけるt=iおよびt=1における表面演算子の2カテゴリは、電磁双対性のもとで同値であり、[15]における結果の2カテゴリカルな類似物を提供する。
• 点を標的空間とする2次元ゲージ化Bモデルにおけるブレーンカテゴリは、C[2]上の連続的ベクトル束の導来カテゴリと同値であり、既知の2次元TFT構造と整合性を保つ。
• U(1)ゲージ群をもつ2次元A型ゲージ理論は、C[2]を標的空間とするBモデルと同型であり、そのブレーンカテゴリはD^b(Coh(C[2]))と同値である。
• t=0における4次元理論の円周上でのコンパクト化から得られる3次元TFTは、N=8 3次元SYMのtwistではない。周期的スカラーおよび不純物型演算子が存在し、R値スカラーの場合とは区別される。