[論文レビュー] A new approach of couple fixed point results on JS-metric spaces

Tanusri Senapati, Lakshmi Kanta Dey|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準的距離空間、b-距離空間、および分離距離空間を含む一般化された距離枠組みであるJS-距離空間において、新しい結合固定点定理を確立する。著者らは、$X^2$ 上に新たな $D_+$-誘導距離を導入し、定数 $k \in [0,1)$ を用いた収縮条件を適用することで、混合単調性および完備性の仮定の下で、結合固定点の存在と一意性を証明する。従来の手法とは異なる、簡略化された証明がなされている。

ABSTRACT

In this article, we study coupled fixed point theorems in newly appeared JS-metric spaces. It is important to note that the class of JS-metric spaces includes standard metric space, dislocated metric space, b-metric space etc. The purpose of this paper is to present several coupled fixed point results in a more general way. Moreover, the techniques used in our proofs are indeed different from the comparable existing literature. Finally, we present a non- trivial example to validate our main result.

研究の動機と目的

• 標準的距離空間における結合固定点結果を、より一般なJS-距離空間枠組みへ拡張すること。
• BhaskarとLakshmikanthamの結合固定点定理を、$k \in [0,1)$ を含む収縮条件を用いて一般化すること。
• 比較可能性および有界性の仮定の下で、結合固定点の一意性条件を確立すること。
• 従来の距離空間と比較して、JS-距離空間のより弱い構造を活用することで、証明を簡略化すること。
• 主な理論的結果を検証する非自明な例を提示すること。

提案手法

• $X^2$ 上に $D_+((x,y),(u,v)) = D(x,u) + D(y,v)$ で定義される新たな距離 $D_+$ を定義し、$(X^2, D_+)$ がJS-距離空間であることを証明する。
• $k \in [0,1)$ を用いた収縮条件 $D_+(T_F(X), T_F(Y)) \leq k D_+(X,Y)$ を用いて、反復列の収束を保証する。
• $\limsup$-に基づくJS-距離公理(D3)を用いて極限の挙動を制御し、固定点への収束を保証する。
• 混合単調性を満たす初期点から反復列 $(x_n, y_n)$ を構成し、それが結合固定点に収束することを示す。
• 比較可能または有界なペアについての有界性仮定を用いて、収縮写像の原理を適用し、一意性を証明する。
• $D_+$-距離を用いて、反復 $T_F^n(z^*)$ が $w$ および $\tilde{z}$ に収束することを分析し、極限の一意性により等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的距離空間における結合固定点定理は、b-距離空間および分離距離空間を含むJS-距離空間へ一般化可能か？
• RQ2 BhaskarとLakshmikanthamの収縮条件は、JS-距離空間設定にどのように適合可能か？ その際、存在性および一意性が保たれるか？
• RQ3 要素が比較可能または有界である場合、JS-距離空間における結合固定点の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 $X^2$ 上の $D_+$-距離は、収束および固定点の存在に必要な位相的性質を保持するか？
• RQ5 JS-距離空間において、結合固定点 $(\tilde{x}, \tilde{y})$ に対して $\tilde{x} = \tilde{y}$ が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 著者らは、混合単調性および完備性の仮定の下で、$k$-収縮条件（$k \in [0,1)$）を満たす写像 $F: X^2 \to X$ に対して、完全なJS-距離空間内に結合固定点の存在を証明する。
• 与えられた収縮および完備性の仮定の下で、構成された列 $(x_n, y_n)$ は結合固定点 $\tilde{z} = (\tilde{x}, \tilde{y})$ に収束する。ここで $\tilde{x} = F(\tilde{x}, \tilde{y})$ かつ $\tilde{y} = F(\tilde{y}, \tilde{x})$ が成り立つ。
• 二つの固定点が比較可能であるか、または共通の上界または下界をもち、$D_+$-距離が有限である場合、結合固定点の一意性が保証される。
• $\tilde{x}$ と $\tilde{y}$ が比較可能で $D(\tilde{x}, \tilde{y}) < \infty$ ならば、$\tilde{x} = \tilde{y}$ が成り立ち、固定点の成分が等しいことを示す。
• 証明手法は従来の文献とは異なり、$\limsup$-に基づくJS-距離公理および $D_+$-距離構造に依存しており、収束の議論が簡略化されている。
• 主結果を検証する非自明な例を構築し、理論が具体的なJS-距離空間において適用可能であることを示している。