[論文レビュー] A New Integrable Ising-type Model from 2d $\mathcal{N}$=(2,2) Dualities

Shahriyar Jafarzade, Zainab Nazari|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、超対称ゲージ理論における2次元 $χ$=(2,2) Seiberg双対性から導かれる新しい可積分なイジング型モデルを提示する。ゲージ/YBE対応を活用することで、著者らはヤコビ・シータ関数を用いて星-三角関係式を解き、円上に連続的なスピン変数を持つモデルを導出し、ボルツマン重みをモジュラー形式で表現した。主な貢献は、統計力学における正確に可解な頂点、面、星-三角モデルを生成する、全く新しいヤン・バクスター方程式の解である。

ABSTRACT

We show that the equality of 2d $\mathcal{N}$=(2,2) supersymmetric indices in Seiberg-type duality leads to a new integrable Ising-type model. The emergence of the new model is the result of correspondence between the supersymmetric $SU(2)$ quiver gauge theories and the Yang-Baxter equation. Using this correspondence, we solve the star-triangle relation and obtain the two-dimensional exactly solvable spin model. The model corresponding to our solution possesses continuous spin variables on the circle and the Boltzmann weights are demonstrated in terms of Jacobi theta function. Using the solution of the star-triangle relation, we also construct interaction-round-a-face and vertex models.

研究の動機と目的

• 2次元 $χ$=(2,2) 超対称ゲージ理論と可積分統計模型との間の新しい接続を確立すること。
• ゲージ/YBE対応を用いて星-三角関係式の新しい解を得ること。
• 円上に連続的なスピン変数を持つ2次元の正確に可解なスピン模型を構築すること。
• 得られた模型が星-三角、頂点、および面まわりの相互作用（IRF）形のヤン・バクスター方程式を満たすことを示すこと。
• 6ファーミオンを有する $SU(2)$ ゲージ理論とその15メソンを持つ双対理論における超対称指数の等価性を通じて、解の物理的実現を提供すること。

提案手法

• ゲージ/YBE対応を用いて、著者らは $SU(2)$ クイバー・ゲージ理論の超対称指数を統計模型の分配関数と特定する。
• ヤン・バクスター方程式を介して星-三角関係式を解き、連続的なスピン変数 $\sigma \in [0, 2\pi)$ を用いたボルツマン重みをヤコビ・シータ関数の形で導出する。
• スペクトルパラメータ $\alpha, \beta, \gamma$ はゲージおよびフレーバー対称性のR荷およびフェューガシティに関連している。
• 自己相互作用項 $\mathcal{S}(\sigma)$ とR因子 $\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma)$ は、シータ関数のモジュラー性を用いて構築される。
• 星-三角解を用いて、YBEの面まわりの相互作用（IRF）型および頂点型の同等の解を生成する。
• 付録において、明示的な積分恒等式と星-三角および三角-星関係式を用いた一貫性の確認を通じて、構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 $χ$=(2,2) 超対称ゲージ理論におけるSeiberg双対性は、どのように新しい可積分統計模型を導くか？
• RQ2 連続的なスピン変数を持つ新しいイジング型模型のボルツマン重みの明示的形は何か？
• RQ3 ゲージ/YBE対応は、この文脈においてどのようにヤン・バクスター方程式を実現するか？
• RQ4 同じ枠組みを用いて、星-三角解を頂点型およびIRF型モデルに拡張できるか？
• RQ5 R因子および自己相互作用項の物理的解釈は、ゲージ理論のデータとしてどのように解釈できるか？

主な発見

• 連続的なスピン変数 $\sigma \in [0, 2\pi)$ を持つ新しい可積分なイジング型模型が構築され、離散的スピン模型とは一線を画す。
• ボルツマン重みは明示的に $\mathcal{W}_{\alpha}(\sigma_i, \sigma_j) = \frac{\theta(e^{-\alpha - \eta \mp i(\sigma_i \pm \sigma_j)}; q)}{\theta(e^{\alpha - \eta \pm i(\sigma_i \pm \sigma_j)}; q)}$ と与えられ、ヤコビ・シータ関数を含む。
• 自己相互作用項 $\mathcal{S}(\sigma)$ は $\frac{1}{4\pi}\left(\frac{(q;q)^2_\infty}{\theta(y;q)}\right)\frac{\theta(e^{\pm 2i\sigma};q)}{\theta(e^{-2\eta \pm 2i\sigma};q)}$ として表現され、ゲージ multiplet の寄与を符号化している。
• R因子 $\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma)$ はシータ関数の比の積として導出され、YBEと一貫性を保つ。
• この解は星-三角関係式を満たし、積分恒等式を用いて同等の頂点型およびIRF型模型を構築するのに用いられる。
• この模型は、6ファーミオンを有する $SU(2)$ ゲージ理論とその15メソンを持つ双対理論における超対称指数の等価性を通じて、物理的に根拠を持つ。