[論文レビュー] Supersymmetric gauge theory and the Yangian

Kevin Costello|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 104

ひとこと要約

この論文は、R^4 上のホロモルフィックにねじれた、変形された N=1 スーパー対称ゲージ理論が、対称性としてではなく演算子代数の一部として、ゲージ群のヤング推移代数によって支配されることを確立している。主な結果は、この理論を2次元トーラスに compactified した場合、ウィルソン演算子の真空期待値が、ヤング推移構造が演算子積の結合性を通じて現れる n×m の二重周期的スピンチェーン可解模型の分配関数と正確に一致することである。この一致は、正確な摂動的有限性によって保証される。

ABSTRACT

This paper develops a new connection between supersymmetric gauge theories and the Yangian. I show that a twisted, deformed version of the pure N=1 supersymmetric gauge theory is controlled by the Yangian, in the same way that Chern-Simons theory is controlled by the quantum group. This result is used to give an exact calculation, in perturbation theory, of the expectation value of a certain net of n+m Wilson operators in the deformed N=1 gauge theory. This expectation value coincides with the partition function of a spin-chain integrable lattice model on an n-by-m doubly-periodic lattice.

研究の動機と目的

• 変形され、ホロモルフィックにねじられた N=1 スーパー対称ゲージ理論を支配する非自明な代数的構造（特にヤング推移）を確立すること。
• このヤング推移構造が、2次元トーラスに compactified された理論におけるウィルソン演算子の真空期待値（VEVs）の正確な摂動的計算を可能にすることを示すこと。
• 可解スピンチェーン模型のヒルベルト空間および転送行列が、ゲージ理論における物理的データとして実際に実現されることを示すこと。
• 演算子積展開の形式的結合性を用いて、これらの結果を厳密な摂動的量子場理論の枠組みで定式化すること。

提案手法

• 理論にチェーン＝シモンズ項と特定のフェルミオンの質量項を加えることで、ローレンツ不変性を破るが、1つのスーパーチャージを保存するように変形する。
• ホロモルフィックねじ込みを施し、混合ホロモルフィック・トポロジカル理論を導出し、1/4 BPS であり、1つのスーパーチャージに対して不変となる。
• ねじられた、変形された理論は、ホロモルフィックベクトル場と結合定数 λ を含む変形された微分を持つ、微分形式のリー代数を用いて定式化される。
• 量子理論は、dgリー代数のチェバリエ＝アイレンベルク複体を用い、因子化代数形式的枠組みを用いて構成され、パラメータを逆数にすることで λ = 1 と設定される。
• 証明は、先行研究で開発された演算子積代数の形式的結合性の性質に依拠しており、明示的なフェニマン図計算とは異なる。
• ウィルソン演算子の VEV が n×m の二重周期的スピンチェーン模型の分配関数と一致することを示すことにより、可解系との関係が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=1 SUSY QCD のような非超対称的または非可解ゲージ理論において、ヤング推移代数はどのように実現可能か？
• RQ2 ホロモルフィックねじ込みは、非可解理論に隠れた可解構造をどのように与えるのか？
• RQ3 瞬間子効果が存在しない変形 N=1 ゲージ理論において、ウィルソン演算子の正確な摂動的計算が可能か？
• RQ4 この文脈において、ヤング推移がグローバル対称性としてではなく、演算子代数の一部としてどのように出現するのか？
• RQ5 スピンチェーン模型のヒルベルト空間および転送行列と、ねじられたゲージ理論の物理的データとの正確な対応関係は何か？

主な発見

• 2次元トーラスに compactified されたねじられた、変形された N=1 ゲージ理論における n+m 個のウィルソン演算子のネットの真空期待値は、正確に n×m の二重周期的スピンチェーン可解模型の分配関数に一致する。
• ゲージ群のヤング推移が、この理論におけるウィルソン演算子の演算子積代数を支配する基礎となる代数的構造として作用する。
• 演算子積の形式的結合性により、理論がすべての摂動的位階で量子力学的に適切に定義されていることが示され、明示的な図計算を要せず、有限性が保証される。
• 因子化代数形式的枠組みにより、この構成は摂動的量子場理論の第一原理的定義を備えており、VEV の定義が厳密に根付いている。
• ヤング推移構造は、対称性としてではなく、演算子の代数の一部として出現するため、N=4 やクオーバーゲージ理論におけるそれとは明確に区別される。
• C^2 上のホロモルフィック平行移動不変性により、演算子積は演算子の位置に関して正則に変化するため、量子レベルでの可解構造が裏付けられる。