[論文レビュー] A New Look at The Crossed-Product of a C*-algebra by an Endomorphism

Ruy Exel|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自己準同型によるC*-代数の新しい交叉積構成を提示し、転送作用素を追加構造として組み込む。これは、特に遺伝的範囲をもつ単射のケースにおいて、以前の構成を一般化するものであり、Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ が、自己準同型と転送作用素を含む生成元と関係式によって定義される普遍C*-代数の商として自然に生じることを示している。

ABSTRACT

We give a new definition for the crossed-product of a C*-algebra A by a *-endomorphism α, which depends not only on the pair (A,α) but also on the choice of a transfer operator (defined in the paper). With this we generalize some of the earlier constructions in the situations in which they behave best (e.g. for monomorphisms with hereditary range), but we get a different and perhaps more natural outcome in other situations. For example, we show that the Cuntz-Krieger algebra O_A arises as the result of our construction when applied to the corresponding Markov subshift and a very natural transfer operator.

研究の動機と目的

• 既存の自己準同型によるC*-代数の交叉積構成を一般化すること。特に、従来の方法が失敗するか不自然になるケースを想定する。
• 古典的力学と作用素代数に由来する動機に基づき、転送作用素を交叉積構成の基本的要素として組み込むこと。
• Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ などの既知の例が、C*-代数、自己準同型、転送作用素から生成される普遍C*-代数の商として回復できる統一的な枠組みを提供すること。
• 遺伝的範囲の要請や等長実装子の必要性といった、従来の構成の制限を、ヒルベルト双加群構造と冗長性関係を用いることで解消すること。

提案手法

• C*-代数 $A$、自己準同型 $\alpha$、転送作用素 $\mathcal{L}$ によって生成される普遍C*-代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ を定義し、すべての $a,b \in A$ に対して $\mathcal{L}(\alpha(a)b) = a\mathcal{L}(b)$ を満たす。
• 生成子 $S$ が $Sa = \alpha(a)S$ および $S^*aS = \mathcal{L}(a)$ を満たすように、ヒルベルト双加群 $M$ を $AS$ の閉包として導入する。
• $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ を冗長性関係 $abS = kbS$（$a,b \in A$、$k \in \overline{ASS^*A}$）によって生成される理想 $\mathcal{I}$ で割った商として、交叉積を構成する。
• $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ の普遍性を用いて、$\mathcal{O}_A$ への$^*$-準同型を定義し、その準同型が $\mathcal{I}$ 上で消えることを示すことで、商を介して因数分解されることを証明する。
• 自由群 $\mathbf{F}(\mathcal{G})$ 上の $\mathcal{O}_A$ の階数付き構造を用いて、$s = \alpha(Q)^{-1/2} \sum_{x \in \mathcal{G}} s_x$ となる標準的要素を定義し、$S$ の定義関係を満たすことを示す。
• 普遍性を用いて逆の $^*$-準同型を構成し、$\mathcal{I}$ 上での消滅を検証することで、$C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$ と $\mathcal{O}_A$ の間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己準同型によるC*-代数の新しい交叉積構成を、転送作用素を組み込み、既存の構成を一般化する形で定義できるか？
• RQ2 この新しい構成を、関連するマルコフ部分系列と自然な転送作用素に適用した場合、Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ が得られるか？
• RQ3 普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ における冗長性の理想 $\mathcal{I}$ をどのように特徴づけ、商が適切に定義された交叉積を与えるか？
• RQ4 ヒルベルト双加群構造 $M = \overline{AS}$ は、交叉積の構成と商の適切な振る舞いを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ が理想 $\mathcal{I}$ による商を経て $\mathcal{O}_A$ に全射的に写像する条件は何か？ また、その写像が同型となる条件は何か？

主な発見

• Cuntz–Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ は、$\Omega_A$ をマルコフ部分系列のパス空間上の連続関数のC*-代数のスペクトルとするとき、$C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$ に同型である。ここで $\alpha$ はシフト自己準同型、$\mathcal{L}$ は前像平均によって定義される転送作用素である。
• 普遍代数 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L})$ を冗長性の理想 $\mathcal{I}$ で割った交叉積の構成は、$\mathcal{O}_A$ に同型なC*-代数を生じる。これにより、$\mathcal{O}_A$ の新たな実現が得られる。
• 生成子 $S$ を $s = \alpha(Q)^{-1/2} \sum_{x \in \mathcal{G}} s_x$ に送る $^*$-準同型 $\psi: \mathbb{T}(C(\Omega_A),\alpha,\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_A$ は理想 $\mathcal{I}$ 上で消えるため、商を介して因数分解可能である。
• 逆準同型 $\phi: \mathcal{O}_A \to C(\Omega_A) \mathop{\square}_{\alpha,\mathcal{L}} \mathbb{N}$ は適切に定義されており、$\psi$ から誘導される写像の逆であることが示され、同型が証明される。
• 証明により、任意の冗長性 $(a,k)$ に対して、$\alpha(1) = 1$ のとき $\psi(k) = a$ が成り立ち、$\psi(a - k) = 0$ となることが示され、$\mathcal{I}$ が核に含まれることが確認される。
• 構成により、冗長性によって生成される理想 $\mathcal{I}$ は、写像 $\psi$ の核に正確に一致することが示され、したがって商 $\mathbb{T}(A,\alpha,\mathcal{L}) / \mathcal{I}$ は $\mathcal{O}_A$ に同型である。