[論文レビュー] A New Northcott Property for Faltings Height

Lucia Mocz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ℝ$ 上のCMアーベル多様体のFaltings高さに対して、ColmezおよびArtin予想を仮定すると、有界な高さを持つ同型類が有限個であることを示す、新たなノースコット性を確立する。整数的$p$-進ホッジ理論をKisinモジュールを用いて展開し、ホッジバンドルの変形を分析することで、同種写像における高さの変化を計算し、低次元における新しいColmez型の公式と、同種類における高さ変動の定量的枠組みを導出する。

ABSTRACT

In this work we prove a new Northcott property for the Faltings height. Namely we show, assuming the Colmez Conjecture and the Artin Conjecture, that there are finitely many CM abelian varieties over the complex numbers of a fixed dimension which have bounded Faltings height. The technique developed uses new tools from integral p-adic Hodge theory to study the variation of Faltings height within an isogeny class of CM abelian varieties. In special cases, we are moreover able to use the technique to develop new Colmez-type formulas for the Faltings height.

研究の動機と目的

• $ℝ$ 上のCMアーベル多様体のFaltings高さに対して、新たなノースコット性を確立し、固定次元$g$の有界な高さを持つ同型類が有限個であることを示すこと。
• CMアーベル多様体の同種類内におけるFaltings高さの変化を定量的に計算する方法を開発すること。
• 低次元の特別な場合において、Faltings高さの新しいColmez型の公式を導出すること。
• 特にKisinモジュールを用いた整数的$p$-進ホッジ理論を応用し、CM文脈における$p$-分岐群の分岐および変形を研究すること。
• CM体における素因数の分解の組合せ論を用いて、Faltingsの元々のノースコット性をCMアーベル多様体の同種類へ一般化すること。

提案手法

• CMアーベル多様体の文脈において、有限平坦部分群スキームおよび$p$-可除群を分類・分析するためのKisinモジュールの利用。
• 有限KisinモジュールのHarder-Narasimhan理論を用いて、同種写像の構造を分解・分析すること。
• Kisinモジュールの外積冪における飽和ライン$ℝ$に対して、$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$を用いて相対ホッジバンドルを計算すること。
• Kisinモジュールによる$p$-可除群の変形理論を応用し、同種写像に沿った高さの変動を追跡すること。
• Kisinモジュール上でのFrobenius写像の行列式の明示的$p$-進付値を用いて、分岐行動を分析すること。
• 反射ノルムおよびCM理論を用いて、算術的不変量とCM体における分解行動を関連させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CMアーベル多様体のFaltings高さは同種類内で有界であり得るか。また、有界な高さを持つ同型類は有限個であるか。
• RQ2 CMアーベル多様体間の基本的同種写像に沿ってFaltings高さはどのように変化するか。その変化は明示的に計算可能か。
• RQ3 低次元のCMケースにおいて、$p$-進ホッジ理論を用いて、Faltings高さの新しいColmez型の公式を導出可能か。
• RQ4 整数的$p$-進ホッジ理論、特にKisinモジュールを用いた場合、同種類内における高さ変動の研究にどの程度応用可能か。
• RQ5 CM体における素数の分岐が、Faltings高さの変動に果たす役割は何か。

主な発見

• ColmezおよびArtin予想を仮定すると、固定次元$g$のCMアーベル多様体で、有界なFaltings高さを持つ同型類は有限個である。
• 素数べき同種写像に沿ったFaltings高さの変化は、$\bigwedge^k \mathfrak{M}$における飽和ライン$ℝ$に対して$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$を用いて計算され、$p=2$および$p\equiv 1\mod 4$の場合に明示的公式が得られる。
• $p=2$かつ$[E:\mathbb{Q}_2]=4$が完全に分岐する場合、$\mathfrak{L} \subseteq \bigwedge^2 \mathfrak{M}$に対して$v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}})) \in \{4(2^4-2^3), 4(2^4-2^3)+2^3\}$である。
• $p=2$の場合、$\# \frac{1}{[K:\mathbb{Q}_p]} \log s^*\Omega^4_{\mathcal{H}/\mathcal{O}_K}$の公式には$R_1(2)=2(2^4-2^3)-2^3$、$R_2(2)=4(2^4-2^3)-2^3$、および$R_3(2)=6(2^4-2^3)-2^3$が含まれる。
• 本稿では、非分岐および完全に分岐する設定における微分的計算を用いて、例えば巡回的アーベル曲面などの特別なケースにおいて、Faltings高さの新しいColmez型の公式を導出する。