[論文レビュー] A New Perspective on Quantum Field Theory Revealing Possible Existence of Another Kind of Fermions Forming Dark Matter

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限次元のクリフォード代数に基づく新しい量子場の理論枠組みを提案する。フェルミオン場は直交的クリフォード構造で記述され、ボソン場はシンプレクティック構造で記述される。デューラック場にクaternionの追加の虚数単位を組み込むことで、モデルは新しいSU(2)二重項のレプトン（ϵ⁺, νϵ）およびクォーク（u′, d′）を予測する。これらは標準模型の相互作用を持たないため、ダークマター候補となる。

ABSTRACT

Quantum fields are considered as generators of infinite-dimensional Clifford algebra $Cl(\infty)$, which can be either orthogonal (in case of fermions) or symplectic (in case of bosons). A generic quantum state can be expressed as a superposition of the basis elements of $Cl(\infty)$, the superposition coefficients being multiparticle complex-valued wave functions. The basis elements, that are products of the generators of $Cl(\infty)$ in the Witt basis, act as creation and annihilation operators. They create positive and negative energy states that include the bare and the Dirac vacuum as special cases. It is shown that the nonvanishing electric charge arises from an extra dimension or from doubling the number of creation and annihilation operators, which brings an extra imaginary unit ${\bar i}$ into the description. A further extension is to consider the ${\bar i}$ as one of the quaternionic imaginary units and consider a generic state as having values in the quaternionic algebra or, equivalently, in the complexified 2-dimensional Clifford algebra, $Cl(2)\otimes C$.contains two distinct fundamental representations of $SU(2)$, one associated with the weak isospin oublet $( u_e,e^-)$, and the other one with the doublet of new leptons, denoted $(\epsilon^+, u_\epsilon)$, that together with the new quarks $(u',d')$ can be identified with dark matter.

研究の動機と目的

• 負エネルギー状態を含むディラック波動関数を確率振幅として再解釈することにより、相対論的量子力学における基礎的問題を解決すること。
• 無限次元における直交的およびシンプレクティッククリフォード代数を用いて、フェルミオンとボソンの記述を統一すること。
• 追加の次元または追加の虚数単位を含む幾何的拡張によって、電気的電荷と弱いアイソスピンを説明すること。
• レプトン（ϵ⁺, νϵ）およびクォーク（u′, d′）からなる新しいフェルミオンの族の存在を導出し、ダークマター候補とすること。
• 標準模型の弱いアイソスピン二重項が、複素化されたクリフォード代数枠組みにおいて第二の隠れたSU(2)二重項と共存できることを示すこと。

提案手法

• 実4成分のクライン＝ゴルドン場から複素4成分の波動関数を構築し、ディラック方程式と等価であることを示す。
• フォールディ＝ウーストゥイゼン変換を用いて正エネルギー状態と負エネルギー状態を関連づけ、負エネルギー解の物理的整合性を検証する。
• ウィット基底を用いて、生成・消滅演算子を無限次元クリフォード代数 Cl(∞) の生成元として表現し、フェルミオン状態（直交的）とボソン状態（シンプレクティック）を区別する。
• 追加の虚数単位 ¯i を導入し、これはクォaternionの単位の一つとして特定され、ディラック場をクaternion的代数に拡張し、さらに Cl(2)⊗C に拡張する。
• Cl(2)⊗C において二つの異なるSU(2)表現を特定する：一つは標準の弱いアイソスピン二重項（νₑ, e⁻）、もう一つは新しい二重項（ϵ⁺, νϵ）。
• 電荷演算子を第五次元の運動量演算子（p₅）と弱いアイソスピン生成子（I₃）の和として導出し、電荷が余剰次元および内部対称性と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負エネルギー状態を含むディラック波動関数を、因果律に反しない限り確率振幅として一貫して解釈できるか？
• RQ2 標準U(1)ゲージ群を超えた幾何的または代数的構造から、電気的電荷がどのように生じるか？
• RQ3 追加の虚数単位または余剰時空次元が、新しいフェルミオン状態を生成する役割を果たすか？
• RQ4 弱いアイソスピン二重項構造が、ダークマターを形成する第二の隠れたSU(2)二重項を含むように拡張可能か？
• RQ5 クリフォード代数 Cl(2) の複素化が、標準フェルミオンと新しいフェルミオンの両方の基本的SU(2)表現を生じさせる仕組みは何か？

主な発見

• 束縛相互作用ポテンシャルの存在により、因果律に反しない限り、負エネルギー成分を含んでもディラック波動関数は確率振幅として一貫して解釈可能である。
• 量子場の理論における生成・消滅演算子は、無限次元クリフォード代数におけるウィット基底の基底要素として現れ、フェルミオン状態は直交的 Cl(∞) によって、ボソン状態はシンプレクティック Cl(∞) によって生成される。
• 電荷は、ディラック場に追加の虚数単位 ¯i を導入するか、第五次元時空を導入することで生じる。電荷密度は4次元における確率密度流に比例する。
• ディラック場をクォaternion的代数、あるいは同値に複素化されたクリフォード代数 Cl(2)⊗C に拡張することで、自然に第二のSU(2)二重項（ϵ⁺, νϵ）が導入される。これは標準の（νₑ, e⁻）二重項とは異なる。
• モデルは、標準模型のゲージボソンと相互作用しない新しいフェルミオン族（ϵ⁺, νϵ）および（u′, d′）を予測し、これが妥当なダークマター候補であることを示す。
• 電荷演算子は ˆQ = ˆp₅ + I₃ として表現され、ここで ˆp₅ は第五次元の運動量（ハイパーチャージと同一視される）であり、I₃ は弱いアイソスピン生成子である。これは高次元モデルにおける弱い相互作用の電荷が修正されることを示唆する。