[論文レビュー] A new series for $π^3$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、中心二項係数と一般化調和数を含む $ olimits\pi^3$ の新しい無限級数を提示する：$ olimits\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}H_{k-1}^{(2)}}{k\binom{2k}{k}} = \frac{\pi^3}{48}$。この級数は $ olimits\pi/4$ のライプニッツ級数よりも収束が速い。結果は、$p$-進合同式を用いて導出され、オイラー数と調和和の算術的性質を結びつける。

ABSTRACT

Let $H_n^{(2)}$ denote the second-order harmonic number $\sum_{03$, where $E_0,E_1,E_2,\ldots$ are Euler numbers. Motivated by the Amdeberhan-Zeilberger identity $\sum_{k=1}^\infty(21k-8)/(k^3\binom{2k}k^3)=π^2/6$, we also establish the congruence $$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{21k-8}{k^3\binom{2k}k^3}\equiv(-1)^{(p+1)/2}4E_{p-3}\pmod p$$ for each prime $p>3$.

研究の動機と目的

• 中心二項係数と第二階調和数を含む $ olimits\pi^3$ の新しい高速収束級数を発見し、証明すること。
• $\nolimits\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{2^k}H_k^{(2)} \mod p$ の形の $p$-進合同式を確立し、それらをオイラー数に関連付けること。
• これらの合同式を $p$ のより高いべきに拡張し、$\nolimits\zeta(3)$ や $\nolimits\pi^3$ に関連する級数におけるより深い算術的構造を明らかにすること。
• $\nolimits\binom{2k}{k}/4^k$ と $B_{p-3}, E_{p-3}$ を含む一般化調和和の $p$-進挙動に関する予想を提示し、それを支持するものとすること。
• 古典的級数 $\nolimits\pi^3$ と現代の $p$-進解析を、二項係数の変換と合同算術を用いて結びつけること。

提案手法

• $p$-進合同式による主級数恒等式の導出：$\nolimits\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{2^k}H_k^{(2)} \equiv -E_{p-3} \pmod{p}$ という既知の $p^3$ を法とする合同式から出発し、二項係数の逆数性と調和数の恒等式を用いて和を変形する。
• スターリングの近似と漸近的解析を用いて、新級数の収束速度を確認し、$\sim \frac{\zeta(2)\sqrt{\pi}}{2^k\sqrt{k}}$ のように減衰することを示す。
• 母関数の恒等式と既知の補題（例：[Su2, Lemma 2.1]）を用いて、$\nolimits\binom{2(p-k)}{p-k}/p$ を $\frac{-2}{k\binom{2k}{k}} \mod p$ に結びつける。
• レジェンドル記号とフェルマー商 $q_p(2) = (2^{p-1}-1)/p$ を用いて、$H_{(p-1)/2}$ および $H_k^{(2)}$ の $p$ および $p^2$ を法とする合同式を表現する。
• $k=1$ から $p-1$ までの和を $p$-進極限を用いて無限級数の形に変換し、$\nolimits\pi^3/48$ の正確な恒等式に到達する。
• Mathematica 7 を用いた数値的検証により、$n \geq 500$ のとき $10^{-150}$ 以内の一致を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和数と中心二項係数を用いて、$\nolimits\pi^3$ の新しい高速収束級数を構成可能か？
• RQ2 $(\nolimits\binom{2k}{k}/2^k$ と $H_k^{(2)}$ を含む和の $p^3$ を法とする $p$-進合同式は何か？
• RQ3 これらの合同式は、$\nolimits\pi^3$ の級数、オイラー数、ベルヌーイ数の間のより深い関係をどのように反映するか？
• RQ4 $\nolimits\zeta(2)$ のアムデルバラン＝ツァイラー級数の構造を、類似の $p$-進恒等式を用いて $\nolimits\pi^3$ に拡張可能か？
• RQ5 一般化調和和 $\nolimits\binom{2k}{k}/4^k$ と $H_k^{(2)}$ の $p$-進極限は何か？また、$B_{p-5}$ および $H_{p-1}/p^2$ とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿では、$\nolimits\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}H_{k-1}^{(2)}}{k\binom{2k}{k}} = \frac{\pi^3}{48}$ という恒等式を確立し、Mathematica 7 でも以前に知られていなかった $\nolimits\pi^3$ の新しい級数である。
• この級数はライプニッツの $\nolimits\pi/4$ の級数よりも収束が速く、ズッカーズの $\nolimits\pi^3/32$ の級数よりは遅いが、漸近的減衰 $\sim \frac{\zeta(2)\sqrt{\pi}}{2^k\sqrt{k}}$ を示す。
• 任意の奇素数 $p>3$ に対して、合同式 $\nolimits\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{2^k}H_k^{(2)} \equiv -E_{p-3} \pmod{p}$ が成り立ち、調和和とオイラー数を結びつける。
• 恒等式 $\nolimits\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{4^k}H_k \equiv 2 - 2p + 4p^2 q_p(2) \pmod{p^3}$ が証明され、調和和とフェルマー商を結びつける。
• 本稿では、$\nolimits\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(21k+8)\binom{2k}{k}^3 \equiv 8p + (-1)^{(p-1)/2}32p^3 E_{p-3} \pmod{p^4}$ を証明し、既知の合同式をより高い精度に拡張する。
• 一般化調和和 $\nolimits\binom{2k}{k}/k4^k$ と $H_k^{(2)}$ の $p$-進挙動を $B_{p-5}$ および $H_{p-1}/p^2$ に関連付ける予想を提示し、Mathematica による数値的証拠を示す。