[論文レビュー] A New State-Space Representation of Lyapunov Stability for Coupled PDEs and Scalable Stability Analysis in the SOS Framework

Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、さまざまな境界条件を有する放物型、放物型、および双曲型系を含む結合線形PDEのラプラウン安定性解析のための新しい状態空間表現を導入する。Lyapunov微分を$L_2$上での線形作用素不等式として直接表現することにより、部分積分や間隔関数への依存を排除し、和の平方（SOS）フレームワークを用いたスケーラブルで余剰性のない安定性解析を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we present a framework for Stability Analysis of Systems of Coupled Linear Partial-Differential Equations. The class of PDE systems considered in this paper includes parabolic, elliptic and hyperbolic systems with Dirichelet, Neuman and mixed boundary conditions. The results in this paper apply to systems with a single spatial variable and assume existence and continuity of solutions except in such cases when existence and continuity can be inferred from existence of a Lyapunov function. Our approach is based on a new concept of state for PDE systems which allows us to express the derivative of the Lyapunov function as a Linear Operator Inequality directly on $L_2$ and allows for any type of suitably well-posed boundary conditions. This approach obviates the need for integration by parts, spacing functions or similar mathematical encumbrances. The resulting algorithms are implemented in Matlab, tested on several motivating examples, and the codes have been posted online. Numerical testing indicates the approach has little or no conservatism for a large class of systems.

研究の動機と目的

• 多様な境界条件を有する結合線形PDE系のスケーラブルで余剰性のない安定性解析フレームワークの構築を目的とする。
• ラプラウンに基づく安定性証明において、部分積分や間隔関数、その他の複雑な数学的構成要素の必要性を排除することを目的とする。
• Lyapunov微分条件を$L_2$空間における線形作用素不等式として直接定式化することを目的とする。
• ディリクレ、ノイマン、および混合境界条件を有する、放物型、放物型、および双曲型系を含む広範なPDEクラスをカバーすることを目的とする。
• 和の平方（SOS）最適化を用いて数値的に実行可能で実装可能な手法を提供し、数値的検証を通じて妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• PDE系のための新しい状態空間表現を導入し、$L_2$上でのLyapunov関数微分の直接表現を可能にする。
• 安定性条件を$L_2$上での線形作用素不等式（LOI）として定式化し、部分積分や補助関数を回避する。
• 境界条件が適切に定義された任意の系に適用可能であることを保証する。特に、混合型境界条件に対しても有効である。
• 得られたアルゴリズムをMATLABで実装し、再現可能性およびテストを目的としてコードを公開する。
• LOIを数値的に解くために和の平方（SOS）フレームワークを適用し、スケーラブルな安定性解析を可能にする。
• 複数のベンチマーク例に本手法を適用し、低余剰性および頑健性を示すことで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分積分に依存しない、結合PDEのラプラウン安定性解析を簡素化する新しい状態空間表現を開発可能か？
• RQ2 提案されたフレームワークは、放物型、放物型、および双曲型系を含む多様なPDEタイプをどの程度カバーできるか？
• RQ3 間隔関数や補助的構成要素の不在が、安定性解析の余剰性にどのように影響するか？
• RQ4 得られた線形作用素不等式は、和の平方最適化によって効率的に解けるか？
• RQ5 異なる境界条件およびPDEクラスにおいて、提案手法の数値的性能およびスケーラビリティはいかがなものか？

主な発見

• 提案された状態空間表現により、$L_2$上でのLyapunov微分を線形作用素不等式として直接定式化でき、従来の解析的負担を回避する。
• 本手法は、ディリクレ、ノイマン、および混合境界条件を有する放物型、放物型、および双曲型PDEに適用可能である。
• 数値的検証では、広範な系のクラスにおいて、ほとんどまたは全く余剰性のない安定性解析を示している。
• フレームワークは、PDE安定性解析で一般的に用いられる部分積分、間隔関数、その他の複雑な数学的ツールの使用を回避している。
• MATLABでの実装および公開コードの提供により、再現可能性と実用的応用が支援されている。
• 和の平方（SOS）フレームワークにより、提案されたフレームワーク内でのスケーラブルで数値的に実行可能な安定性解析が成功裏に実現された。