[論文レビュー] A non-LEA Sofic Group

Aditi Kar, Nikolay Nikolov|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アーベル群への局所埋め込み可能性（LEA）でないが、有限生成のソフィック群である例を初めて構成した。これは、無限巡回部分群を共有する自由被覆の直和が、LEA群のクラスを保たないことを示している。著者らは、$ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $（$ Z $ は無限巡回部分群）が、ソフィックではあるが、非可解的アーベル群に帰着できないことを示し、したがってLEAではない。その根拠として、共可解的LEA部分群を有しないことを証明した。

ABSTRACT

We describe elementary examples of finitely presented sofic groups which are not residually amenable (and thus not initially subamenable or LEA, for short). We ask if an amalgam of two amenable groups over a finite subgroup is residually amenable and answer this positively for some special cases, including countable locally finite groups, residually nilpotent groups and others.

研究の動機と目的

• 有限生成のソフィック群で非可解的アーベル群（したがってLEAでない）である明示的な例を構成すること。
• 有限部分群を共有する自由被覆の直和が、非可解的アーベル群の性質を保つかどうかを調査すること。
• 部分群 $ C $ が有限で、$ A $ と $ B $ が非可解的アーベル群であるとき、$ A \ast_C B $ が非可解的アーベル群である条件を特定すること。
• 共可解性、LEA部分群、およびソフィック群における自由被覆の直和の構造との関係を明確にすること。

提案手法

• 無限巡回部分群 $ Z $ を生成するユニポテンツ行列を用いて、$ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ を構成する。
• 先行研究で確立された、アーベル群を共有するソフィック群の自由被覆の直和のソフィック性を用いて、$ G $ がソフィックであることを確認する。
• 矛盾を導くために、$ G $ が共可解的LEA部分群 $ H $ を持つと仮定し、$ G $ がコセット空間 $ X = G/H $ に作用する不変平均を用いて分析する。
• $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ の性質(T)を活用し、$ X $ の一般点の安定化部分群が各因子において有限指数であることを示し、アーベル群への準同型における $ H $ の像に矛盾を引き起こす。
• 可除部分群 $ Y_i \cong \mathbb{Z}[1/p] $ 及びそれらが $ H $ と交わる構造を用いて、任意のアーベル群への準同型で等しくならなければならないが、$ H $ 内では異なる $ \beta_1, \beta_2 \in H $ を構成する。これにより、アーベル群への部分単準同型の存在が否定される。
• 導来系列およびプロフィニート位相に関する結果を応用し、特に $ C $ が $ A $ と $ B $ の下位中心系列と交わらない場合に、非可解的アーベル群の性質が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成のソフィック群でLEAでないものが存在するか？
• RQ2 非可解的アーベル群のクラスは、有限部分群を共有する自由被覆の直和についても閉じているか？
• RQ3 $ n \geq 3 $ のとき、$ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ のコピーを含むソフィック群が共可解的LEA部分群を持つことができるか？
• RQ4 $ A $ と $ B $ が非可解的アーベル群で $ C $ が有限であるとき、$ A \ast_C B $ が非可解的アーベル群である条件は何か？
• RQ5 有界な頂点群を持つ有限群のグラフの基本群は、ある意味で自由群の部分群としての性質を持つのか？

主な発見

• $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ は、アーベル群を共有するソフィック群の自由被覆の直和に関する定理により、ソフィックである。
• $ G $ はLEAではない。なぜなら、共可解的LEA部分群を含まないからである。
• $ G $ の任意の共可解的部分群は、各因子 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ と有限指数で交わらなければならない。
• 任意のアーベル群への準同型で、$ \beta_1 = f_1(y(a/p)) $ と $ \beta_2 = f_2(y(a/p)) $ の像は等しくならなければならないが、$ H $ 内では $ \beta_1 \neq \beta_2 $ であるため、アーベル群への部分単準同型の存在に矛盾する。
• $ C $ が $ A $ と $ B $ の下位中心系列と交わらない場合、$ A \ast_C B $ は非可解的アーベル群である。これはコロナリー8で示された。
• $ C $ が $ A $ と $ B $ のプロフィニート位相においてハウスドルフであるとき、$ A \ast_C B $ は非可解的アーベル群である。これは定理7で確立された。