[論文レビュー] A note on interpreting N M2 branes

Yang Zhou|ArXiv.org|Jul 6, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^{8}/\mathbb{Z}_{K}$ 上の錐に compactified された N 個の M2 ブレーンの幾何学的解釈を提案し、生成子 $T^0$ を径方向座標演算子、$T^{-1}$ を径方向運動量演算子として特定する。$θ$ 方向を $K$ に依存する半径で compactified することにより、$g_{̼}∝ 1/\sqrt{K}$ を導出し、Yang-Mills 耦合定数を軌道面のレベルと関連づけ、幾何学的および量子力学的根拠を提示する。

ABSTRACT

A new world volume theory with a free scalar field was proposed for Multiple M2 branes recently. By giving the free scalar a large VEV, we can obtain a gauge theory of multiple D2 branes with a coupling constant proportional to the VEV. It is pointed out by Banerjee and Sen that we can get D2 branes by choosing a compactification in the $θ$ direction, with radial position having the same value of the VEV. Following this work, we try to describe the multiple M2 branes in R^8/Z_K and give a simple provement of g_{YM} \propto {1 \ov \sqrt{K}} in the compactification. We try to interpret T^0 and T^{-1} as the radial coordinate operator and momentum operator and give some evidences in geometry and quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 複数の M2 ブレーンにおける Lorentz 3代数の特別な生成子 $T^0$ と $T^{-1}$ の役割を解釈すること。
• compactified M-theory の設定における Yang-Mills 耦合定数 $g_{\text{YM}}$ の幾何的起源を明確にすること。
• 11次元幾何学と量子力学を用いて、径方向座標と $T^0$ 生成子、径方向運動量と $T^{-1}$ 生成子の対応関係を確立すること。
• $\theta$ compactification を通じる M2 ブレーンから D2 ブレーンへの遷移における $g_{\text{YM}}$ の $K$-依存性の一貫した説明を提供すること。

提案手法

• M-theory の $r$-$\theta$ 平面における $\theta$ 方向を compactify し、$K=1$ の平坦な 11D スペーシャイムを $K>1$ で錐に変換する。
• $\mathbb{R}^8/\mathbb{Z}_K$ 軌道面 compactification に起因する錐幾何を記述するための新しい座標 $r'$ と $\theta'$ を導入する。
• 幾何学的および量子力学的整合性を用いて、$T^0$ を径方向座標演算子、$T^{-1}$ を径方向運動量演算子として特定する。
• BLG 型場理論における新規のヒッグス機構を用いて、$X_0$ が Yang-Mills 耦合定数を制御し、$T^0$ と関連付けることを示す。
• compactified type IIA 背景における有効結合定数を分析することで、$g_{\text{YM}} \propto 1/\sqrt{K}$ の関係を導出する。
• 既知の $\mathcal{A}_4$ 理論の結果と比較し、結合定数の $K$-依存性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lorentz 3代数における生成子 $T^0$ と $T^{-1}$ は、M2 ブレーン幾何における物理的演算子としてどのように対応するか？
• RQ2 compactified M-theory の設定における Yang-Mills 耦合定数 $g_{\text{YM}}$ の $K$-依存性の幾何的起源は何か？
• RQ3 N 個の M2 ブレーンの径方向運動量は $T^{-1}$ 生成子とどのように関係し、なぜ保存されるのか？
• RQ4 M-theory の $\theta$-compactification は、$g_{\text{YM}} \propto 1/\sqrt{K}$ を満たす D2 ブレーンの有効理論をどのように再現するか？

主な発見

• $T^0$ 生成子は、compactified $r$-$\theta$ 平面における径方向座標演算子に対応し、Yang-Mills 耦合定数を制御する。
• $T^{-1}$ 生成子は、径方向運動量演算子に対応し、径方向に力が存在しないため一定に保たれる。
• Yang-Mills 耦合定数は $g_{\text{YM}} \propto 1/\sqrt{K}$ を満たし、$\mathcal{A}_4$ 理論からの結果と一致し、$K$-レベル依存性を確認する。
• $\theta$ 方向の compactification は、$K>1$ で平坦な 11D スペーシャイムを錐幾何に変換し、径方向座標 $r$ が $T^0$ に対応する。
• 世界面理論における $X_0$ の自由な運動方程式は、径方向座標が自由度として扱われるのに整合的であり、$T^0$ の特定を支持する。
• $T^0$ および $T^{-1}$ 演算子の幾何学的および量子力学的整合性は、M-theory の compactification における Lorentz 3代数の提案された解釈を支持する。