[論文レビュー] A note on some sub-Gaussian random variables

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、集合\{1, \dots, N\}から一様に非復元で選ばれた$m$次単位根の和として定義される複素数の離散確率変数$X_l(m,N)$の部分ガウス性を調査する。$|X_l(m,N)|$、$|U_l(m,N)|$、$|V_l(m,N)|$の期待値に対するタイトな上界および下界を、部分ガウスノルム$\|\cdot\|_{\psi_2}$を用いて確立する。三角関数の和公式と$m$および$N$を4で割った剰余に基づくケース解析を用いて、明示的な式が導出される。

ABSTRACT

In [8] the author of this paper continued the research on the complex-valued discrete random variables $X_l(m,N)$ ($0\le l\le N-1$, $1\le M\le N)$ recently introduced and studied in [24]. Here we extend our results by considering $X_l(m,N)$ as sub-Gaussian random variables. Our investigation is motivated by the known fact thatthe so-called Restricted Isometry Property (RIP) introduced in [4] holds with high probability for any matrix generated by a sub-Gaussian random variable. Notice that sensing matrices with the RIP play a crucial role in Theory of compressive sensing. Our main results concern the proofs of the lower and upper bound estimates of the expected values of the random variables $|X_l(m,N)|$, $|U_l(m,N)|$ and $|V_l(m,N)|$, where $U_l(m,N)$ and $U_l(m,N)$ are the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$, respectively. These estimates are also given in terms of related sub-Gaussian norm $\Vert \cdot\Vert_{ψ_2}$ considered in [28]. Moreover, we prove a refinement of the mentioned upper bound estimates for the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$.

研究の動機と目的

• 複素数の離散確率変数$X_l(m,N)$の既存の研究を拡張し、それらを部分ガウス確率変数として分析すること。
• $\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$、$\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$、$\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$に対する鋭い上界および下界を、部分ガウスノルム$\|\cdot\|_{\psi_2}$の観点から確立すること。
• 三角関数の和の技法を用いて、$X_l(m,N)$の実部および虚部の既存の上界推定値を精緻化すること。
• $m$および$N$の偶奇およびモジュロ4のすべてのケースにおいて、虚部$V_l(m,N)$の$L^\infty$ノルムの明示的閉形式を提供すること。

提案手法

• 確率変数$X_l(m,N)$は、$N$次の単位根から一様に非復元で選ばれた$m$個の異なる要素の和として定義される。
• 実部$U_l(m,N)$および虚部$V_l(m,N)$は、三角関数の恒等式および和公式を用いて別々に分析される。
• $m$の偶奇および$N \mod 4$に基づくケース別分析により、$V_l(m,N)$の最大絶対値に対する異なる三角関数的表現が得られる。
• 部分ガウスノルム$\|X_l(m,N)\|_{\psi_2}$を用いて尾部挙動を制限し、期待値推定値を導出する。
• 恒等式$\sum_{k=a}^{b} \sin(2k\pi/N) = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(\text{調整項})}{\sin(\pi/N)}$が、$V_l(m,N)$の極値を計算するために適用される。
• 三角和のケース別解析を通じて、$\|V_l(m,N)\|_{\infty}$が、$m$が偶数の場合は常に$\frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$、$m$が奇数の場合は$\frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$に一致することを示して、結果を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分ガウスノルム$\|\cdot\|_{\psi_2}$の観点から、$\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$に対する最もタイトな上界および下界は何か？
• RQ2 実部$U_l(m,N)$および虚部$V_l(m,N)$の期待値の大きさは、$m$および$N$に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 $m$および$N$のすべてのモジュロケースにわたって、$V_l(m,N)$の$L^\infty$ノルムを統一された閉形式で表現できるか？
• RQ4 既存の$\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$および$\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$の上界推定値に対する改善は可能か？
• RQ5 多集合$\Phi(l,N)$の構造は、$X_l(m,N)$の部分ガウス性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 偶数の$m$および$N \equiv 1$または$3 \pmod{4}$の場合、虚部$V_l(m,N)$の$L^\infty$ノルムは$\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$で有界である。
• 偶数の$m$および$N \equiv 0$または$2 \pmod{4}$の場合、同じ式が成り立つ：$\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$。これは三角和のケース別解析により導出される。
• 奇数の$m$の場合、$\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$であり、すべてのケースで$M_2 = -M_1$となるため、最大値は$M_1$に簡略化される。
• $|X_l(m,N)|^2$の期待値は正確に$\frac{m(N-m)}{N-1}$に等しく、一様抽出下での分散構造を確認する。
• $N \neq 2l$のとき、実部および虚部は$\mathbb{E}[(U_l(m,N))^2] = \mathbb{E}[(V_l(m,N))^2] = \frac{m(N-m)}{2(N-1)}$を満たし、対称性が確認される。
• 本稿は、$X_l(m,N)$が部分ガウス的であり、$\|X_l(m,N)\|_{\psi_2} \lesssim \sqrt{\frac{m(N-m)}{N-1}}$であることを確立し、その結果を圧縮センシングにおける制限等長性性質（RIP）に関連付ける。