[論文レビュー] A Note on the Ladyzenskaja-Babuska-Brezzi Condition

Abner J. Salgado, Johnny Guzmán+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、準均一的で形状が正則なメッシュの下で、ストークス問題における混合有限要素法において、古典的Ladyzenskaja-Babuška-Brezzi (LBB) 条件と一般化LBB (GLBB) 条件の同値性を確立する。ドメインが十分に滑らかであると仮定すると、GLBBがLBBを含意することを証明し、さらにGLBBがプリコンディショニングや時間依存問題に関連する重み付きinf–sup条件を含意することを示す。

ABSTRACT

The analysis of finite-element-like Galerkin discretization techniques for the stationary Stokes problem relies on the so-called LBB condition. In this work we discuss equivalent formulations of the LBB condition.

研究の動機と目的

• 混合有限要素法における古典的LBB条件と一般化LBB (GLBB) 条件の関係を明確化すること。
• GLBBが準均一メッシュ上での古典的LBB条件を含意するかどうかを調査すること。
• GLBBがプリコンディショニングおよび時間依存ストークス問題に用いられる重み付きinf–sup条件を含意することを示すこと。
• GLBBがL²有界なFortin射影の存在を保証することを確立することにより、安定性および収束性を保証すること。

提案手法

• L²近似性質を持つFortin射影を構成するために、Scott-Zhangの補間作用素を用いる。
• 逆不等式とメッシュの正則性仮定（準均一的で形状が正則）を用いてノルムを制御する。
• ノルム‖·‖_H¹+ε⁻¹L² と ‖·‖_L²∩εH¹ を含む重み付きinf–sup条件を用いて、プリコンディショニングを分析する。
• 連続的なinf–sup安定性を離散設定に移すために、(2.8)を満たすFortin作用素の存在を利用する。
• ε をメッシュサイズ h と比較した場合のケース解析により、重み付きinf–sup条件を証明する。
• ドメインの正則性（球に星型であること）を仮定して、連続的なinf–sup安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準均一メッシュ上での一般化LBB条件 (GLBB) は、古典的LBB条件と同値であるか？
• RQ2 GLBB条件は、時間依存ストークス問題のプリコンディショニングに用いられる重み付きinf–sup条件を含意するか？
• RQ3 GLBB条件下でL²有界なFortin射影の存在を保証できるか？
• RQ4 ドメインがストークス解に関してH²正則性を満たすとき、GLBBはLBBを含意するか？
• RQ5 GLBBは、ターレイ・フッド要素やミニ要素を含む、すべての標準的なinf–sup安定な有限要素空間の安定性を確立するために用いられるか？

主な発見

• 準均一的で形状が正則なメッシュ上では、一般化LBB条件 (GLBB) が古典的LBB条件を含意する。
• ドメインがストークス問題に対してH²正則性を満たすとき、GLBBはLBBと同値である。
• GLBB条件は、ε や h に依存しない定数を用いた重み付きinf–sup条件 (5.1) を含意する。
• 2次元における最低次のターレイ・フッド要素では、GLBBが重み付きinf–sup条件を含意し、この結果は2次元および3次元のすべてのターレイ・フッド要素に拡張可能である。
• GLBB条件は、L²で有界でかつ最適近似性質を持つFortin射影の存在を保証する。
• 結果は準均一メッシュの仮定の下で成り立ち、この条件を除去できるかどうかは著者らが未解決として残している。