[論文レビュー] An Extended Galerkin Analysis for Linear Elasticity with Strongly Symmetric Stress Tensor.

Qingguo Hong, Jun Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、強い対称な応力テンソル、変位、およびそれらの要素内境界補正を用いた線形弾性の統一的四場変分法を提案する。この手法は、不連続、非適合、適合ガラーキン法を統合・拡張し、安定化パラメータが増加する際の一様な inf-sup 条件と混合法への収束を証明する。

ABSTRACT

This paper presents an extended Galerkin analysis for various Galerkin methods of the linear elasticity problem. The analysis is based on a unified Galerkin discretization formulation for the linear elasticity problem consisting of four discretization variables: strong symmetric stress tensor $\boldsymbol \sigma_h$, displacement $u_h$ inside each element and the modifications of these two variables $\check \boldsymbol \sigma_h$ and $\check u_h$ on elementary boundaries. Motivated by many relevant methods in literature, this formulation can be used to derive most existing discontinuous, nonconforming and conforming Galerkin methods for linear elasticity problem and especially to develop a number of new discontinuous Galerkin methods. Many special cases of this four-field formulation are proved to be hybridizable and can be reduced to some known hybridizable discontinuous Galerkin, weak Galerkin and local discontinuous Galerkin methods by eliminating one or two of the four fields. As certain stabilization parameter tends to infinity, this four-field formulation is proved to converge to some conforming and nonconforming mixed methods for linear elasticity problem. Two families of inf-sup conditions, one known as $H^1$-philic and another known as H(div)-phillic, are proved to be uniformly valid with respect to different choices of discrete spaces and parameters. These inf-sup conditions guarantee the well-posedness of the new proposed formulations and also offer a new and unified analysis for many existing methods in literature as a by-product.

研究の動機と目的

• 線形弾性に対する既存の不連続、非適合、適合ガラーキン法を一つの変分的定式化に統合すること。
• 体系的な四場離散化アプローチを通じて、新しい不連続ガラーキン法を開発すること。
• さまざまな離散的空間と安定化パラメータに対して一様な inf-sup 条件を確立し、適切に定義された問題を保証すること。
• 安定化パラメータが無限大に近づく極限において、定式化が既知の適合および非適合混合法に収束することを示すこと。
• 文献に既存の手法を説明・拡張できる統一的解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 強い対称応力テンソル $\boldsymbol{\sigma}_h$、変位 $u_h$、およびそれらの境界補正 $\check{\boldsymbol{\sigma}}_h$ と $\check{u}_h$ を用いた四場ガラーキン法を定式化する。
• この四場系を用いて線形弾性問題の弱形式を導出し、要素間で一貫した離散化を可能にする。
• 二種類の inf-sup 条件（$H^1$-指向および $H(\text{div})$-指向）を適用し、離散的空間やパrameterに依存せずに一様に成立することを証明する。
• 一つまたは二つの場を消去することで、ハイブリッド可能、弱ガラーキン、局所不連続ガラーキン法が特別な場合として現れることを示す。
• 安定化パラメータが無限大に近づく際の収束挙動を分析し、適合および非適合混合法に収束することを示す。
• 統一的定式化を用いて、保証された安定性と収束性を有する新しい不連続ガラーキンスキームを導出し、分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一つの変分的定式化が、線形弾性に対する既存の不連続、非適合、適合ガラーキン法を統合できるか？
• RQ2 異なる離散的空間とパrameterに対して、四場ガラーキン定式化の適切に定義された問題を保証する条件は何か？
• RQ3 提案手法は、既知のハイブリッド不連続ガラーキン法、弱ガラーキン法、局所不連続ガラーキン法とどのように関係しているか？
• RQ4 安定化パラメータを無限大に近づけた極限において、定式化はどのような挙動を示し、既知の混合法に収束するか？
• RQ5 この枠組み内で、$H^1$-指向および $H(\text{div})$-指向の両方の定式化に対して、一様な inf-sup 条件を確立できるか？

主な発見

• 四場定式化は、不連続、非適合、適合スキームを含む広範なガラーキン法のクラスを、一つの枠組みで統合する。
• 離散的空間の選択や安定化パラメータに依存せず、一様に成立することが証明された二種類の inf-sup 条件群（$H^1$-指向および $H(\text{div})$-指向）が存在する。
• 一つまたは二つの場を消去することで、既知のハイブリッド不連続ガラーキン法、弱ガラーキン法、局所不連続ガラーキン法が特別な場合として得られる。
• 安定化パラメータが無限大に近づく極限において、定式化は線形弾性の適合および非適合混合法に収束する。
• 統一的解析により、文献に既存のガラーキン法の理解と拡張のための新しい理論的基盤が提供される。
• このフレームワークは、保証された安定性と収束性を有する新しい不連続ガラーキン法の体系的導出を可能にする。