[論文レビュー] A note on the real part of the Riemann zeta-function

Juan Arias de Reyna, Richard P. Brent+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

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ひとこと要約

本稿では、$σ_0 \approx 1.19$ という臨界定数を高精度で計算するための効率的なアルゴリズムを提示する。$σ_0$ は、ある実数 $t$ に対して $σ + it$ における $ξ(σ + it)$ の実部がゼロまたは負になるような $σ$ の上界である。この計算には、素数ゼータ関数と逆三角関数級数を用いた級数加速法が用いられ、$σ_0$ を高精度に算出している。また、$σ = 1$ 上で $σξ(1+it) \leq 0$ となる最初の50個の区間を特定し、最初の区間は $t \approx 682112.9169$ に位置し、長さは $≈ 0.0529$ である。最初の50個の区間長の合計は、密度 $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$ を推定する。

ABSTRACT

We consider the real part $\Re(ζ(s))$ of the Riemann zeta-function $ζ(s)$ in the half-plane $\Re(s) \ge 1$. We show how to compute accurately the constant $σ_0 = 1.19\ldots$ which is defined to be the supremum of $σ$ such that $\Re(ζ(σ+it))$ can be negative (or zero) for some real $t$. We also consider intervals where $\Re(ζ(1+it)) \le 0$ and show that they are rare. The first occurs for $t$ approximately 682112.9, and has length about 0.05. We list the first fifty such intervals.

研究の動機と目的

• 高精度で $\sigma_0 = \sup\{\sigma \in \mathbb{R} \mid \exists t \in \mathbb{R}, \mathrm{Re\,}\zeta(\sigma + it) = 0\}$ を計算すること。
• 収束が遅い級数 $f(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$ を、収束が速い二重級数に変換することで、$f(\sigma)$ を効率的に評価するアルゴリズムを開発すること。
• $\sigma = 1$ 上で $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ となる最初の50個の区間を特定し、その位置と長さを表形式で整理すること。
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ となる $t \in \mathbb{R}_{>0}$ の集合の自然密度 $d(1)$ を、最初の50個の区間長の合計を用いて推定すること。

提案手法

• オイラー積とモービウスの反転公式を用いて、$P(\sigma) = \sum_p p^{-\sigma}$ を $P(\sigma) = \sum_{r=1}^\infty \frac{\mu(r)}{r} \log \zeta(r\sigma)$ として計算する。この表現は $\sigma > 1$ に対して速やかに収束する。
• $f(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$ を二重級数 $f(\sigma) = \sum_{k=0}^\infty c_k P((2k+1)\sigma) - \pi/2$ に変換する。ここで $c_k = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2 (2k+1)}$ であり、収束が著しく速くなる。
• $c_k \leq \frac{1}{2(2k+1)}$ を用いて尾部誤差を抑え、$k$ に関する級数の切り捨て点を厳密な誤差制御のもとに決定する。
• $f(\sigma) = \sum_{j=1}^\infty d_j \log \zeta(j\sigma) - \pi/2$ という恒等式を用い、$d_j = \sum_{k \geq 0, r > 0, (2k+1)r = j} \frac{c_k \mu(r)}{r}$ と定義することで、事前に計算された $\log \zeta(j\sigma)$ の値を用いて効率的な評価を可能にする。
• $f(\sigma)$ の符号が変化する区間（例：$[1.1, 1.2]$）において、ゼロ検出アルゴリズム（例えば二分法や割線法）を適用し、誤差境界を保証しながら $f(\sigma)$ の根を特定する。
• $t \geq 10$ のとき $\left| \mathrm{Re} \frac{\zeta'(1+it)}{\zeta(1+it)} \right| \leq \frac{3}{4} \log(t^2 + 4) + 7$ という境界を用い、最大勾配の原理と組み合わせて、$σξ(1+it) \leq 0$ となる最初の $t$ を厳密に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $σ_0$ の正確な値、すなわち $σ + it$ における $σξ(\sigma+it)$ がゼロまたは負になるような $σ$ の上界は何か？
• RQ2 収束が遅い級数 $\sum_p \arcsin(p^{-\sigma})$ を、数値計算に適した収束が速い形に変換する方法は何か？
• RQ3 $\sigma = 1$ 上で $σξ(1+it) \leq 0$ となる最初の50個の区間の位置と長さは何か？
• RQ4 $\{t > 0 \mid \mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0\}$ の自然密度 $d(1)$ の推定値は何か？
• RQ5 $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it)$ の最初のゼロクロッシングが $t \approx 682112.9169$ に発生するが、これはグローバル最小値であり、その最小値は何か？

主な発見

• $\sigma_0$ は級数変換とゼロ検出アルゴリズムを用いて高精度に計算され、$\sigma_0 \approx 1.19$ である。
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ となる最初の区間は $t \approx 682112.9169$ に位置し、長さは約 $0.05291225$ である。
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$ となる最初の $t$ は $t \approx 682112.8913$ であり、局所的最小値は $-0.0027652$ である。
• 最初の50個の区間の長さの合計は $6.48390168$ であり、これにより $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$ が推定される。
• モンテカルロ推定値は $3.80 \times 10^{-7}$ であり、区間長の合計と強く一致している。
• 表1に、$\mathrm{Re\,}\zeta(1+it)$ の最初の50個の負の局所的最小値を示しており、値は $-0.0826$ から $-0.0008$ の範囲にあり、区間長は $0.0305$ から $0.2840$ の範囲にある。