[論文レビュー] A note on three-point functions of conserved currents

Alexander Zhiboedov|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、一般の $d$ 次元の conformal field theory (CFT) における任意スピンの保存電流の3点相関関数の完全な形を導出し、共形対称性と電流保存によって、有限個の定数を除いて固定する。任意の $d$ において、すべての可能な構造の生成関数を導入し、偶数次元と奇数次元における異なるタイプを特定し、奇数次元 $d>3$ では、既知の自由CFTでは実現されない無限個の構造が生じることを示す。

ABSTRACT

We find the form of three-point correlation functions of traceless symmetric conserved currents of arbitrary spin in d-dimensional conformal field theory (CFT). These are fixed up to several constants by conformal symmetry and current conservation conditions. We present generating functionals for all structures in arbitrary d. In even dimensions we present an interpretation for each structure in terms of the corresponding free field. In odd dimensions d>3 an infinite number of structures is found which are not generated by known CFTs.

研究の動機と目的

• 任意スピンのトレースレス対称保存電流の3点関数の完全な形を、$d$ 次元CFTで特定すること。
• 共形対称性と電流保存条件によって固定されるすべての可能な構造を分類すること。
• 任意の $d$ において、これらの構造の生成関数を構築し、偶数次元と奇数次元を区別すること。
• 偶数次元における構造を自由場理論による実現によって解釈し、奇数次元における新しい非自由構造を同定すること。
• 共形不変量における多項式的構造に作用する微分作用素を用いた、相関関数を体系的に計算する手法を確立すること。

提案手法

• 埋め込み形式と光円錐極化ベクトルを用いて、相関関数の生成関数を構築する。
• 多項式空間 $H_{ij}$ と $V_i$ に作用する微分作用素 $\mathcal{D}_i$ を適用し、電流保存を強制する。
• 条件 $\mathcal{D}_i \langle\langle j_{s_1}j_{s_2}j_{s_3}\rangle\rangle = 0$ を課して許容される構造を特定する。
• 共形不変量 $V_i$ と $H_{ij}$ を導入し、$\Lambda_1 = V_1V_2V_3 + \frac{1}{2}(V_1H_{23} + V_2H_{13} + V_3H_{12})$ と $\Lambda_2 = H_{12}H_{13}H_{23}$ を用いて解を整理する。
• 多項式アンサンブの係数の再帰関係を固定するため、光円錐極限（$x_{ij}^+ \to 0$）を分析する。
• アンサンブに $\Lambda_1^j$ と $\Lambda_2^k$ 項（$j=0, \frac{1}{2}, 1$）を用いて構造を分類し、低スピンの場合の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意スピンの保存電流の3点関数の一般形は、$d$ 次元CFTにおいてどのように表されるか？
• RQ2 このような3点関数に存在する独立な構造の数はいくつで、時空次元 $d$ に依存するか？
• RQ3 すべての構造が既知の自由CFTで実現可能か、それとも奇数次元に新しい非自由構造が存在するか？
• RQ4 任意の $d$ において、すべての可能な構造を捉える生成関数を構築できるか？
• RQ5 光円錐極限は、多項式アンサンブの係数の分類と固定にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 共形対称性と電流保存によって、$d$ 次元CFTにおける3点関数 $\langle j_{s_1}j_{s_2}j_{s_3}\rangle$ は有限個の定数を除いて完全に固定される。
• 偶数次元では、すべての構造がスカラー、ディラックフェルミオン、または $(d-2)/2$ 形式理論からのものに対応する。
• 奇数次元 $d>3$ では、既知の自由CFTでは生成されない無限個の独立した構造が存在する。
• $d \geq 4$ では、スティーブ・テンソルの3点関数は、正確に3つの構造で構成される：$j=0$、$j=\frac{1}{2}$、$j=1$ のタイプ。
• $j=0$ の場合の生成関数は、$H_{ij}$ と $V_i$ の多項式であり、再帰関係によって係数が決定される。
• $j=1$ の構造は、アンサンブ $\Lambda_1^2 + \gamma \Lambda_2$ によって一意に固定され、$\gamma = \frac{1}{2(d-2)}$ であり、$d \geq 4$ でスティーブテンソルの3点関数に寄与する。