[論文レビュー] A partial order on Motzkin paths

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、タマリ格子にインspiredした部分順序をモツキン経路に導入し、全posetが格子ではないものの、各連結成分が古典的タマリ格子内の区間と同型であることを示している。著者らは、対角線ステップと接触数を重み付けしたposet内の区間の代数的生成関数を、キャタライティック変数のアプローチを用いて導出し、その結果をシュレーダー経路へと拡張している。

ABSTRACT

The Tamari lattice, defined on Catalan objects such as binary trees and Dyck paths, is a well-studied poset in combinatorics. It is thus natural to try to extend it to other families of lattice paths. In this article, we fathom such a possibility by defining and studying an analogy of the Tamari lattice on Motzkin paths. While our generalization is not a lattice, each of its connected components is isomorphic to an interval in the classical Tamari lattice. With this structural result, we proceed to the enumeration of components and intervals in the poset of Motzkin paths we defined. We also extend the structural and enumerative results to Schröder paths. We conclude by a discussion on the relation between our work and that of Baril and Pallo (2014).

研究の動機と目的

• ドゥークパスからモツキンパスへのタマリ格子構造の拡張を目的とする。これは、より広いクラスの格子経路を扱うためのものである。
• 谷変換を用いて定義されたタマリにインspiredした被覆関係に基づく、モツキンパスのposet構造を調査すること。
• モツキンパスのposetにおける連結成分および区間の列挙を行い、その結果をシュレーダー経路へと拡張すること。
• 本研究の構成と先行研究、特にバリルとパロのモツキン語上のposetとの関係を明確にすること。
• 一般化されたタマリ格子へのインパクトを検討し、mボールトパスへの潜在的な拡張を考察すること。

提案手法

• 谷（東方向ステップに続く北または対角線ステップ）を特定し、その谷部分経路と直前の東方向ステップを入れ替える局所的変換を適用することで、モツキンパスにおける被覆関係を定義する。
• カランのバイジェクション（モツキンパスと特定のドゥークパスの族との間）を用い、順序構造を移行させ、各連結成分が古典的タマリ格子内の区間と同型であることを証明する。
• [BMJ06]の手法に従い、1つのキャタライティック変数を用いた関数方程式を用いて、モツキンパスのposet内の区間の生成関数を導出する。
• 対角線ステップ長が2であることを考慮して生成関数を調整することで、同じ手法をシュレーダー経路に適用する。
• 代数的変形と代入を用いて、生成関数 $ G(t,u) $ を3次方程式の根 $ X' $ で表す。
• 構造的および列挙的解析を通じて、モツキンパスのposetと一般化タマリ格子との間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タマリ格子構造は、ドゥークパスの一般化たるモツキンパスへ自然に拡張可能か？
• RQ2 タマリに類似した被覆関係によって定義されたモツキンパス上のposetのグローバル構造はいかなるものか？
• RQ3 このposetの連結成分は、古典的タマリ格子内の区間とどのように関係しているか？
• RQ4 対角線ステップと接触数を重み付けした、このposet内の区間の数の生成関数は何か？
• RQ5 モツキンパスの結果は、より長い対角線ステップを許容するシュレーダー経路へどのように拡張可能か？

主な発見

• 定義された被覆関係に基づくモツキンパスのposetは格子ではないが、連結成分に分解可能である。
• このposetの各連結成分は、古典的タマリ格子内の区間と同型であり、深い構造的関係を示している。
• 対角線ステップ数と接触数を重み付けした、モツキンパスのposet内の区間の生成関数 $ G(t,u) $ は代数的であり、キャタライティック変数を含む関数方程式を満たす。
• 生成関数は、3次方程式 $ tX'^3 + 2ut^2X'^2 + X' - 1 = 0 $ の根 $ X' $ を用いて明示的に表現され、$ X' $ を用いた有理関数として与えられる。
• モツキンパスの結果はシュレーダー経路へと拡張可能であり、生成関数 $ G(t,u) $ は $ G(t^2,u) = F_1(t,ut) $ を満たし、$ G(t,1) $ の最初のいくつかの係数が計算されている。
• 本稿では、バリルとパロの研究との差異が、二分木とドゥークパスとの間の異なるバイジェクションに起因し、タマリ格子内での埋め込みが異なることによって生じることを明確にした。