[論文レビュー] A positive proportion of plane cubics fail the Hasse principle

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、係数の高さで順序付けられた整数係数の3変数3次形式のうち、正の割合がハッセの原理に反することを証明している—つまり、すべてのℚの完備化において解をもつが、有理数解をもたない。著者らはさらに、正の割合が非自明にハッセの原理を満たすことも示しており、これは2変数4次形式やℙ³における2次曲面の交線といった他の1種曲線モデルへと拡張される。

ABSTRACT

When all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ are ordered by the heights of their coefficients, we show that a positive proportion of them fail the Hasse principle, i.e., they have a zero over every completion of $\mathbb Q$ but no zero over $\mathbb Q$. We also show that a positive proportion of all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ nontrivially satisfy the Hasse principle, i.e., they possess a zero over every completion of $\mathbb Q$ and also possess a zero over $\mathbb Q$. Analogous results are proven for other genus one models, namely, for equations of the form $z^2=f(x,y)$ where $f$ is a binary quartic form over $\mathbb Z$, and for intersections of pairs of quadrics in $\mathbb P^3$.

研究の動機と目的

• 係数の高さで順序付けられた整数係数3変数3次形式のうち、ハッセの原理が失敗する頻度を特定すること。
• そのような形式の正の割合が非自明にハッセの原理を満たすかどうかを調査すること、すなわち局所的に可解であるが globally に解をもつこと。
• これらの結果を他の1種曲線モデルへと拡張すること：f が2変数4次形式である形の z² = f(x,y) の方程式、およびℙ³における2次曲面の対の交線。
• 算術統計と局所-大域原理に基づき、局所的に可解な1種曲線のうち、大域的に可解であるものの漸近的割合に関する予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 空間 V(ℝ) ≅ ℝ¹⁰ 内の拡大するコンact領域 tB を用いて、整数係数3変数3次形式を係数の大きさで順序づける。
• 局所的可解性を、すべてのℚₙ において解が存在することと定義し、可解性をℚ 上に有理数解が存在することと定義する。
• 拡大する領域内の整数係数形式の漸近的数え上げを用いて、局所的に可解な形式、可解な形式、ハッセの原理に反する形式の密度を計算する。
• 算術統計およびセレマー群の理論の結果を応用し、特に n-セレマー要素と1種曲線上の有理点との関係を用いる。
• ランク分布予想を用いて、有理点をもつ n-セレマー要素の割合を推定し、推計的密度を得る。
• 2つの独立性仮定を行う：(1) 算術的に、局所的可解性と大域的可解性は独立である；(2) スケーリング極限において、有理点は一様分布していると仮定し、推計的割合を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数の高さで順序付けられた整数係数3変数3次形式のうち、どれくらいの割合がハッセの原理に反するか？
• RQ2 そのような形式のうち、非自明にハッセの原理を満たす割合はどれくらいか、すなわち局所的に可解でかつ大域的に解をもつのか？
• RQ3 z² = f(x,y) で f が2変数4次形式であるような他の1種曲線モデルに対しても同様の結果が成り立つか？
• RQ4 ℙ³における2次曲面の対の交線に対しても、同様に失敗と満たしの割合が成り立つか？
• RQ5 これらのモデルクラスにおいて、局所的に可解な形式のうち、大域的に可解なものの漸近的密度は何か？

主な発見

• 係数の高さで順序付けられた整数係数3変数3次形式のうち、正の割合がハッセの原理に反する。
• 係数の高さで順序付けられた整数係数3変数3次形式のうち、正の割合が非自明にハッセの原理を満たす—つまり、局所的に可解でかつ有理数解をもつ。
• 3変数3次形式の空間において、局所的に可解な形式のうち可解なものの推計下界密度は 1/3 であり、失敗割合は 2/3 であると予想される。
• 2変数4次形式や4変数2次形式の対の空間において、局所的に可解な形式のうち可解なものの推計下界密度は 1/4 であり、失敗割合は 3/4 であると予想される。
• これらの予想はランク分布予想および、局所的可解性と有理点分布に関する2つの自然な独立性仮定の下で導かれる。
• これらの結果は、Poonen と Voloch が提唱した、1種曲線族におけるハッセの原理違反の頻度に関する予想を支持し、拡張する。