[論文レビュー] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない係数をもつ非発散型の2階楕円型方程式に対して、原双対弱ガレルキン有限要素法を提案する。離散弱ヘッセ行列を構築し、二次的汎関数を最小化する制約付き最適化問題として定式化することで、滑らかでないおよび不連続な係数をもつ凸領域および非凸領域に対しても、離散 $H^2$、$H^1$、$L^2$ ノルムにおいて最適収束速度を達成する。

ABSTRACT

This article proposes a new numerical algorithm for second order elliptic equations in non-divergence form. The new method is based on a discrete weak Hessian operator locally constructed by following the weak Galerkin strategy. The numerical solution is characterized as a minimization of a non-negative quadratic functional with constraints that mimic the second order elliptic equation by using the discrete weak Hessian. The resulting Euler-Lagrange equation offers a symmetric finite element scheme involving both the primal and a dual variable known as the Lagrange multiplier, and thus the name of primal-dual weak Galerkin finite element method. Optimal order error estimates are derived for the finite element approximations in a discrete $H^2$-norm, as well as the usual $H^1$- and $L^2$-norms. Some numerical results are presented for smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains.

研究の動機と目的

• 非発散型2階楕円型PDEを、不連続または滑らかでない係数をもつ場合に解く課題に取り組み、古典的変分法では失敗する状況を扱う。
• 係数テンソル $a_{ij} \in L^\infty(\Omega)$ が滑らかでない場合に、標準的な弱形式が利用できない状況においても、安定的かつ高精度な有限要素法を開発する。
• 原双対構造を用いた制約付き最適化フレームワークを導入することで、離散弱ガレルキンスキームの不適切な定式化を克服する。
• Cordes条件を満たす場合に、離散 $H^2$、$H^1$、$L^2$ ノルムにおける最適誤差推定を確立する。
• 角部や原点に特異性をもつ領域を含む凸領域および非凸領域においても、優れた性能を示す。

提案手法

• 多角形メッシュ上で局所的第二階微分の再構成を可能にする弱ガレルキン戦略を用いて、離散弱ヘッセ作用素を構築する。
• 離散問題を、すべての試験関数 $w \in W_{h,k}$ に対して $\sum_{i,j} (a_{ij} \partial_{ij,d}^2 u_h, w) = (f,w)$ を満たす制約付きの非負の二次的汎関数 $J(v) = \frac{1}{2}s(v,v)$ の最小化問題として定式化する。
• 制約を満たすために双対変数（ラグランジュ乗数）$\lambda_h$ を導入し、原変数と双対変数の両方を含む対称な混合有限要素スキームを構築する。
• 制約付き最適化定式化によりインフラ・サブ条件を満たすことで安定性を保証し、追加のペナルティ項を必要としない。
• 原変数には $C^0$-連続な有限要素空間を、双対変数には不連続な空間を用いることで、非構造的メッシュ上でも局所的自由度と柔軟性を実現する。
• 得られたオイラー＝ラグランジュ系を解くことで、離散解 $u_h$ と乗数 $\lambda_h$ のための対称的かつ正定値線形系が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数テンソルが不連続または有界にとどまる場合に、非発散型2階楕円型PDEに対して安定的かつ収束する有限要素法を開発できるか。
• RQ2 離散弱ヘッセ作用素を構築することで、弱ガレルキンフレームワークを非発散型PDEに拡張できるか。
• RQ3 滑らかでない係数をもつ問題において、$H^2$、$H^1$、$L^2$ ノルムにおけるこの手法の最適収束速度は何か。
• RQ4 解の正則性が低下する可能性がある非凸領域において、この手法の性能はいかがであるか。
• RQ5 係数行列が内部点で不連続であっても、原双対弱ガレルキン定式化が最適収束を維持できるか。

主な発見

• 領域 $\Omega = (0,1)^2$ において、解 $u = |x|^{1.6}$ の数値的収束率として、$H^1$-セミノルムで $h^{1.6}$、$L^2$-ノルムで $h^2$ が観測され、理論的正則性 $H^{2.6-\tau}(\Omega)$ と整合的である。
• ラグランジュ乗数 $\lambda_h$ については、$L^2$-ノルムで $r \approx 0.6$ の収束率が観測され、滑らかでない解の理論的予測と一致する。
• $\Omega = (-1,1)^2$ において、係数行列が原点で不連続である場合でも、$H^1$ および $L^2$ ノルムで収束率 $r \approx 1.0$ を達成し、$\lambda_h$ の $L^2$-ノルムも $r \approx 0.6$ で収束する。これは、本手法のロバスト性を確認する。
• Cordes条件を満たす場合、不連続係数をもつ場合でも、$H^2$-ノルムにおける最適収束が維持される。
• 数値結果から、$u - u_h$ の $L^2$-誤差は $r \approx 2.0$ で収束することが示され、これは最適であり、既存の理論では完全に説明できない。
• 本手法は、角部特異性をもつ凸領域および非凸領域においても安定的かつ収束的であり、幾何的および係数の不規則性に対してロバストであることを示している。