[論文レビュー] A priori error estimates for compatible spectral discretization of the Stokes problem for all admissible boundary conditions

Jasper Kreeft, Marc Gerritsma|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、すべての許容される境界条件に対して最適な事前誤差推定を保証する、ストークス問題の互換性のあるスペクトル離散化法を提示する。この方法は、直交座標および曲線座標メッシュの両方で有効であり、外微分と可換な有界射影作用素に依存しており、適合する離散ホッジ分解を実現し、速度、渦度、圧力変数における最適収束率を達成する。

ABSTRACT

This paper describes the recently developed mixed mimetic spectral element method for the Stokes problem in the vorticity-velocity-pressure formulation. This compatible discretization method relies on the construction of a conforming discrete Hodge decomposition, that is based on a bounded projection operator that commutes with the exterior derivative. The projection operator is the composition of a reduction and a reconstruction step. The reconstruction in terms of mimetic spectral element basis-functions are tensor-based constructions and therefore hold for curvilinear quadrilateral and hexahedral meshes. For compatible discretization methods that contain a conforming discrete Hodge decomposition, we derive optimal a priori error estimates which are valid for all admissible boundary conditions on both Cartesian and curvilinear meshes. These theoretical results are confirmed by numerical experiments. These clearly show that the mimetic spectral elements outperform the commonly used H(div)-compatible Raviart-Thomas elements.

研究の動機と目的

• すべての許容される境界条件において最適収束を維持する、ストークス問題の互換性のあるスペクトル離散化法の開発。
• 外微分と可換な有界射影作用素を用いた適合する離散ホッジ分解の確立。
• 従来の境界条件に加え、非標準境界条件を含む、曲線四角形および六面体メッシュ上での既存の事前誤差推定の拡張。
• ミメティックスペクトル要素が、古典的なラヴィアルト＝トーマス $H(\mathrm{div})$-互換要素よりも数値的性能に優れていることを示すこと。
• 複雑な曲線領域における製造解を用いた数値実験を通じて、理論的収束率の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、微分形式とストークス問題の渦度-速度-圧力（VVP）定式化に基づく、混合ミメティックスペクトル有限要素法（MMSEM）に立脚する。
• 射影作用素は、部分多様体上での積分（還元）とテンソル積ミメティックスペクトル基底関数を用いた再構成の合成として構築される。
• ノードおよびエッジ補間基底関数を用いた再構成により、曲線要素上での外微分およびホッジ分解と整合性を保証する。
• 射影作用素は外微分と可換である（$\pi_h \mathrm{d} = \mathrm{d} \pi_h$）ことにより、ミメティック整合性が保たれ、重要な位相的性質が維持される。
• 離散ホッジ分解は適合的であり、$\Lambda_h^k = \mathcal{Z}_h^k \oplus \mathcal{Z}_h^{k,\perp}$ と表され、離散ペインレーカー不等式に依存する。
• 本手法は微分幾何学および代数的トポロジーの言語で定式化されており、すべての標準的および非標準的境界条件と整合性を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての許容される境界条件下で、ストークス問題の互換性のあるスペクトル離散化に対して最適な事前誤差推定を導出可能か？
• RQ2 ミメティックスペクトル有限要素法は、曲線四角形および六面体メッシュ上でも最適収束率を維持するか？
• RQ3 MMSEMの性能は、$H(\mathrm{div})$-互換性を持つ古典的Raviart-Thomas要素と比較して、収束性および精度の面で優れているか？
• RQ4 可換性を持つ有界射影作用素は、非標準境界条件に対しても安定性と最適収束を保証できるか？
• RQ5 高次曲率を持つ領域に対して、製造解を用いた応用において、本手法の収束特性はいかなるものか？

主な発見

• 一様直交座標メッシュ上での渦度誤差において、$N=2$ および $h=1/8$ から $h=1/128$ の範囲で $h^3$ の最適収束率が達成され、3次収束が確認された。
• 曲線メッシュ上でも、$N=2,4,6,8$ の場合に速度および圧力において最適な $h$-収束が達成され、渦度では約3.0、速度では約3.0、圧力では3.01の収束率を示した。
• 数値実験により、ミメティックスペクトル要素が、標準的な $H(\mathrm{div})$-互換性を持つRaviart-Thomas要素よりも精度および収束特性に優れていることが確認された。
• 非線形摂動を含む $\Phi(\xi,\eta)$ による写像で定義される曲線領域上でも、4種類の境界条件（ディリクレ、ノイマン、混合、非標準）すべてにおいて最適収束が維持された。
• 曲線写像のプルバック作用素は射影作用素と可換であり、曲線要素上でも最適収束が保たれた。
• 理論的誤差推定は、すべての許容される境界条件に適用可能であり、従来の結果（特定の境界型に限定）を拡張した。