[論文レビュー] A program to test the p-rationality of any number field

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モニックな既約多項式によって定義される任意の数体 $K$ の $p$-有理性をテストする高速な PARI/GP プログラムを提示する。その特徴は、$p^2$（$p=2$ の場合は 8）を法とするレイトクラス群を用いて $p$-有理性を特徴づけることである。主な貢献は、ガロア表現や Iwasawa 理論に関する予想を支援する、$p$-有理性の効率的検証を可能にする計算ツールの提供である。応用例として、二次体や $p$-有理性密度の解析が含まれる。

ABSTRACT

Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs (§§3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 (§§5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa $μ$-invariants of some uniform prop groups. R{é}sum{é} Soit K un corps de nombres. Nous montrons que son corps de classes de rayon modulo p 2 (resp. 8) si p > 2 (resp. p = 2) caract{é}rise sa p-rationalit{é}. Puis nous donnons deux courts programmes PARI (§§3.1, 3.2) trs rapides testant si K (d{é}fini par un polyn{ô}me irr{é}ductible uni-taire) est p-rationnel ou non. Pour les corps quadratiques nous v{é}rifions certaines densit{é}s en relation avec celles de Cohen-Lenstra-Martinet et nous analysons la conjecture de Greenberg sur l'existence de corps p-rationnels de groupes de Galois (Z/2Z) t n{é}cessaires pour la construction de certaines repr{é}sentations galoisiennes d'image ouverte. Nous donnons des exemples pour p = 3, t = 5 et t = 6 (§§5.1, 5.2) et il-lustrons d'autres approches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). Nous concluons sur l'existence de corps quadratiques imaginaires p-rationnels pour tout p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen sur le concept de "groupe de Galois ab{é}lien absolu minimal") qui peut{é}clairerpeut{é}clairer une conjecture de p-rationalit{é} (Hajir-Maire) donnant de grands invariants $μ$ d'Iwasawa relatifs {à} certains prop -groupes uniformes.

研究の動機と目的

• モニックな既約多項式によって定義される数体の $p$-有理性をテストする実用的な計算手法の開発、特に $p$-進構造が複雑な体に対して。
• Cohen–Lenstra–Martinet のヒューリスティクスに従う、二次体における $p$-有理性密度に関する理論的予測の検証。
• ガロア群が $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$（$t=5,6$ かつ $p=3$）である $p$-有理体の明示的例の提供。これにより、Greenberg の予想がこれらのケースで裏付けられる。
• すべての $p \geq 2$ に対して $p$-有理である虚二次体が存在するかを検討し、最小の絶対アーベルガロア群の概念と関連付ける。
• Hajir–Maire の予想に従い、$p$-有理性と一様なプロ $p$-群における大きな Iwasawa $\mu$-不変量との関連を明らかにすること。

提案手法

• 本稿では、$p^2$（$p=2$ の場合は 8）を法とするレイトクラス群を用いて $p$-有理性を特徴づけ、完全な類体論の計算を回避する。
• 第 3.1 章および第 3.2 章に記載の、2 つの短く高度に最適化された PARI/GP プログラムを実装。これらは関連するレイトクラス群の計算と、ねじれ部分群 $\mathcal{T}_K$ の自明性のテストを実行する。
• 本手法の根拠は、$K$ が $p$-有理 $\iff$ Leopoldt の予想が成り立ち且つ $\mathcal{T}_K = 1$ であるという同値性にあり、ここで $\mathcal{T}_K = \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(\mathrm{Gal}(H_K^{\rm pr}/K))$ である。
• 正規化された $p$-進レギュレーター $\mathcal{R}_K$ は、正確な完全列 $1 \to \mathcal{W}_K \to \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_K / \overline{E}_K) \xrightarrow{\log} \mathcal{R}_K \to 0$ を用いて計算され、$p$-有理性と単位の $p$-進対数の関連を示す。
• ガロア体に対しては、$U_K^\Sigma$ 及びそれと $\overline{E}_K$ の交わりの構造を用いて、レイトクラス群内の分岐とねじれの解析を行う。
• 本手法は、類体論および $p$-進対数写像を活用し、$p$-有理性のテストを $\mathbb{Z}_p$-加群における有限計算に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モニックな既約多項式によって定義される任意の数体の $p$-有理性は、$p^2$ を法とするレイトクラス群を用いて、効率的にテスト可能か？
• RQ2 $p$-有理二次体の密度は何か？ これは Cohen–Lenstra–Martinet のヒューリスティクスと整合するか？
• RQ3 $p=3$ のとき、ガロア群が $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$（$t=5$ および $t=6$）である $p$-有理体は存在するか？ これは Greenberg の予想が要請するものである。
• RQ4 すべての $p \geq 2$ に対して $p$-有理である虚二次体は存在するか？ これは最小の絶対アーベルガロア群の概念に何を意味するか？
• RQ5 Hajir–Maire の予想に従い、$p$-有理性は一様なプロ $p$-群における大きな Iwasawa $\mu$-不変量と関連付けることができるか？

主な発見

• 本稿では、モニックな既約多項式によって定義される任意の数体の $p$-有理性をテストする、非常に効率的な 2 つの PARI/GP プログラムを提供。従来の手法に比べて著しく高速化された。
• 二次体に関しては、$p$-有理性密度が Cohen–Lenstra–Martinet の予測と一致することを確認。これにより、$p$-進類体論におけるヒューリスティックモデルの妥当性が支持される。
• ガロア群が $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^5$ および $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ である $p$-有理体の明示的構成がなされ、$p=3$ の場合に Greenberg の予想がこれらのケースで成立することが確認された。
• 一般に $p=2$ のとき、$\mathcal{W}_K = \bigoplus_{{\mathfrak{p}}\mid p} \mu_{K_{\mathfrak{p}}} / \mu_K$ が自明でないことが示され、小素数における $p$-有理性の複雑さが浮き彫りになった。
• 正規化された $p$-進レギュレーター $\mathcal{R}_K$ は、$p$-有理性において最も深い不変量であることが示され、$p$ が大きい場合、$\mathcal{R}_K$ が $p$ を法として 0 になる確率は $\leq 1/p^{\log_2 p / \log c_0(\eta) - O(1)}$ 以下であると予想される。
• Borel–Cantelli の原理に従えば、固定された実ガロア体が非 $p$-有理となるような素数 $p$ は有限個に限られることを示唆し、確率論的有限性予想を支持する。