[論文レビュー] A quantization of the Hitchin hamiltonian system and the Beilinson-Drinfeld isomorphism

Ken‐ichi Sugiyama|ArXiv.org|Aug 22, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、種数 $g > 1$ の滑らかな射影的曲線 $X$ 上の、パラボリック構造（Dフラッグ）を備えた主 $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルに対して、Beilinson-Drinfeld のヒッチン系の量子化を一般化する。$\Omega^{\otimes 2}(D)$ の全体切断と、このようなバンドルのモジュライスタック上のねじれた微分作用素の間の同型を構成し、正則なDモジュールによる幾何的分岐非アーベルクラス体理論を確立する。そのDモジュールは、予想されるヘッケ固有層である。

ABSTRACT

We will study the Hitchin's hamiltonian system for a modular stack of principal SL_2(C) bundle on a smooth projective curve which has a parabolic reduction at certain points. As an application we will obtain a generalization of the Beilinson-Drinfeld isomorphism, which is a quantization of the Hitchin's hamiltonian system.

研究の動機と目的

• $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルにおけるマークド点でのパラボリック還元を伴う分岐局所系への Beilinson-Drinfeld 同型の拡張。
• $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルの $D$-フラッグを備えたモジュライスタックの余接バンドル上でのヒッチン系の量子化の構成。
• $H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D))$ の元に正則Dモジュールを割り当てる幾何的分岐非アーベルクラス体理論の確立。

提案手法

• $N$ 個のマークド点 $z_1, \dots, z_N$ における $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルの $D$-フラッグを持つモジュライスタック $\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$ を定義。
• $\lambda \in \mathbb{Z}^N$ に対し、$\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$ 上のねじれた微分作用素の層 $\mathcal{D}'_{D\text{-}fl,\lambda}$ を構成。
• $\Gamma(H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D)), \mathcal{O}) \simeq D'_{D\text{-}fl,\lambda}$ の同型を証明し、Beilinson-Drinfeld 同型を一般化。
• 局所化ファンクター $\Delta_{D\text{-}fl}$ を用いて、$\hat{\mathfrak{g}}_N$ の表現から $\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$ 上のDモジュールを関連付ける。
• $\lambda$-適切および $\Omega^{\otimes 2}(2D)$ の全体切断を定義し、中心的特徴値作用を用いてDモジュールをパrameter化。
• 得られるDモジュールが、切断が同時に全体的かつ $\lambda$-適切である場合にのみ正則かつ非自明であることを確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Beilinson-Drinfeld 同型は、パラボリック構造を備えた $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルにおける分岐局所系へ一般化可能か？
• RQ2 $SL_2(\mathbb{C})$-バンドルの $D$-フラッグを備えたモジュライスタック上でのヒッチン系の量子化は、古典的ヒッチン可積分系を拡張するか？
• RQ3 一般化された同型を通じて構成されたDモジュールは、予想通りヘッケ固有層構造をもつか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{C}$-代数同型 $\Gamma(H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D)), \mathcal{O}) \simeq D'_{D\text{-}fl,\lambda}$ を確立し、Beilinson-Drinfeld 同型の非アーベル一般化を証明した。
• $q \in H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D))$ に対応するDモジュール $\mathcal{M}_q$ は、定理 5.3 で正則であることが示された。
• 局所化ファンクター $\Delta_{D\text{-}fl}$ は、$\lambda$-適切かつ全体的な $q$-データを、非自明なDモジュールに写す。定理 6.1 に記載。
• $\mathcal{D}'_{D\text{-}fl,\lambda} \otimes_{\otimes \Gamma(H^0(D_i, \Omega^{\otimes 2}(2\mathbb{O})), \mathcal{O})} \mathbb{C}$ は $\Delta_{D\text{-}fl}(M_{-2,\lambda}^q)$ に同型であり、構成の整合性が確認された。
• $\mathcal{M}_q$ を $q$ に割り当てる対応は、一般化された Beilinson-Drinfeld 対応を定義し、分岐ケースへの幾何的類体論の拡張を実現した。
• この構成は、分岐状況におけるヘッケ固有層の研究のための枠組みを提供し、Dモジュールが正則正則かつヘッケ固有層であるという予想が裏付けられる。