[論文レビュー] A quantum characterization of NP

Hugue Blier, Alain Tapp|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、多項式時間古典的検証者が、対数個の量子ビットに作用する多項式サイズの量子回路と2つの量子証拠（もつれなし）を用いる言語として定義される複雑性クラス PQMAₗₒg(2) を導入する。本論文は PQMAₗₒg(2) = NP を示し、完璧な完全性と1に近い音声性を満たす対数サイズのもつれなし量子証拠を用いた NP の量子的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

In this article we introduce a new complexity class called PQMA_log(2). Informally, this is the class of languages for which membership has a logarithmic-size quantum proof with perfect completeness and soundness which is polynomially close to 1 in a context where the verifier is provided a proof with two unentangled parts. We then show that PQMA_log(2) = NP. For this to be possible, it is important, when defining the class, not to give too much power to the verifier. This result, when compared to the fact that QMA_log = BQP, gives us new insight on the power of quantum information and the impact of entanglement.

研究の動機と目的

• 対数サイズのもつれなし量子証拠を用いて NP を特徴付ける新しい量子複雑性クラス PQMAₗₒg(2) を定義すること。
• このクラスが正確に NP を特徴づけること、すなわち古典的クラス NP の量子的表現を提供すること。
• 検証者の古典的多項式時間制限のもとで、もつれと検証者の能力が量子インタラクティブ証明系に与える影響を明らかにすること。
• PQMAₗₒg(2) と QMAₗₒg(2) を対比させることで、検証者の制限が証拠の能力に与える影響を強調すること。

提案手法

• PQMAₗₒg(2) を、対数個の量子ビット（O(log n)）に作用する多項式サイズの量子回路と2つのもつれなし量子証拠を用いる古典的多項式時間検証者が使用する言語のクラスとして定義する。
• 検証者が量子回路を生成し、2つのもつれなし量子証拠に対して3つのテストを実行して、グラフの3彩色可能性を検証する。
• 射影演算子と測定確率を用いて、頂点の色の適切な符号化と隣接頂点間の一貫性を検証するテストを設計する。
• 完全性の証明：妥当な3彩色が与えられた場合、正しい量子証拠状態を用いることで、確率1で受理されることを示す。
• 音声性の証明：任意の無効なグラフは、少なくとも 1/(24n⁶) の確率でテストに失敗することを示し、yes インスタンスと no インスタンスの間のギャップが非負値であることを保証する。
• g/3 の精度で量子受理確率をシミュレートできる古典的多項式時間検証者を構築する。ここで g = 1/p(n) は完全性と音声性のギャップである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP は、対数サイズのもつれなし量子証拠と古典的多項式時間検証を用いた量子インタラクティブ証明系によって特徴付けられるか？
• RQ2 検証者を古典的多項式時間に制限した場合、量子証拠系の能力にどのような影響を与えるか？
• RQ3 このようなシステムで、完全性と音声性の間に定数ギャップを達成できるか、それとも逆多項式ギャップが必要か？
• RQ4 2つのもつれなし量子証拠を用いることで、1つのもつれのある証拠と比較して検証能力がどのように変化するか？

主な発見

• クラス PQMAₗₒg(2) は正確に NP に等しく、対数サイズのもつれなし量子証拠を用いた NP の量子的特徴付けを提供する。
• 検証者は完全な完全性を達成しており、入力が言語に属する場合、妥当な証拠は常に受理される。
• 音声性誤差は 1/(24n⁶) 以下に抑えられており、yes インスタンスと no インスタンスの受理確率の間に非負値のギャップが保証されている。
• 古典的多項式時間検証者が量子受理確率を十分な精度でシミュレート可能であり、PQMAₗₒg(2) が NP に属することを示している。
• 結果は、古典的非決定的計算が、対数個の量子ビットに作用する量子回路と2つのもつれなし証拠を用いて、検証者が古典的である場合でもシミュレート可能であることを示している。
• 構成により、この設定では証拠間のもつれが NP-完全性に必要ではないことが示されている。