[論文レビュー] NP vs QMA_log(2)

Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、2体の量子プローバーがそれぞれ対数的サイズの量子ウェッジを提供する、3-SATの量子メルリン＝アーサープロトコルを提示する。このプロトコルは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、音声ギャップ $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ を達成する。この結果は、$\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ の包含関係を強化し、従来の多項式的境界を超えてギャップを改善することで、定数ギャップの実現可能性に近づける。

ABSTRACT

Although it is believed unlikely that $\NP$-hard problems admit efficient quantum algorithms, it has been shown that a quantum verifier can solve $\NP$-complete problems given a short quantum proof; more precisely, $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ where $\QMA_{\log}(2)$ denotes the class of quantum Merlin-Arthur games in which there are two unentangled provers who send two logarithmic size quantum witnesses to the verifier. The inclusion $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ has been proved by Blier and Tapp by stating a quantum Merlin-Arthur protocol for 3-coloring with perfect completeness and gap $\frac{1}{24n^6}$. Moreover, Aaronson {\it et al.} have shown the above inclusion with a constant gap by considering $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ witnesses of logarithmic size. However, we still do not know if $\QMA_{\log}(2)$ with a constant gap contains $\NP$. In this paper, we show that 3-SAT admits a $\QMA_{\log}(2)$ protocol with the gap $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ for every constant $\epsilon>0$.

研究の動機と目的

• 既知の QMA_log(2) プロトコルの逆多項式的音声ギャップと、NP が QMA_log(2) に定数ギャップで含まれるとの予想との間のギャップを埋める。
• 2体の非エンタングルな量子プローバーが対数的サイズの量子証明を提供する仕組みを用いて、NP-完全問題の量子プロトコルにおける音声ギャップを改善する。
• 3-SAT が、2体の非エンタングルなプローバーから得られる対数的サイズの量子ウェッジのみを用いて、量子検証者が高い信頼性で検証可能であることを示す。

提案手法

• 3-SAT に対する完全な完全性を持つ2プローバー量子メルリン＝アーサープロトコルを設計する。
• 2体の非エンタングルな量子プローバーを用い、それぞれがサイズ $O(\log n)$ の量子ウェッジを検証者に送信する。
• 量子状態トモグラフィーとエンタングルド測定技術を用いて、3-SATの割り当ての整合性と正しさを検証する手順を構築する。
• 不正な証明に対する検証テストの感度を慎重に調整することで、任意の $\epsilon > 0$ に対して音声ギャップ $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ を達成する。
• 3-SAT の構造的性質を活用し、制約を量子状態に符号化する。これにより、不満たす割り当ては高い確率で棄却される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP-完全問題の QMA_log(2) プロトコルにおける音声ギャップは、逆多項式的境界を超えて改善可能か。
• RQ2 2プローバー量子証明系において、対数的サイズの量子ウェッジを用いて、多項式的より小さいが逆多項式的より大きいギャップを達成することは可能か。
• RQ3 NP が QMA_log(2) に含まれる場合、$1/n^6$ よりも著しく優れたギャップを持つのか。

主な発見

• 本論文は、任意の $\epsilon > 0$ に対して音声ギャップ $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ を有する QMA_log(2) プロトコルを3-SATに対して構築し、以前の $\frac{1}{24n^6}$ よりも改善した。
• プロトコルは完全な完全性を維持しており、量子検証者はすべての有効な3-SATインスタンスを確実に受容する。
• プロトコルは2体の非エンタングルな量子プローバーのみを用い、それぞれがサイズ $O(\log n)$ の量子ウェッジを提供するため、証明長の観点からも効率的である。
• この結果は、$\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ が定数ギャップで成立する可能性を支持しており、改善されたギャップが定数ギャップの実現可能性に近づけた。