[論文レビュー] A realization of certain modules for the $N=4$ superconformal algebra and the affine Lie algebra $A_2 ^{(1)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$bc\beta\gamma$ システム内に、中心電荷 $c = -9$ の単純な $N=4$ スーパーレイノルト型頂点代数 $L_c^{N=4}$ の明示的実現を構成し、アフィン頂点代数 $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ を埋め込み、$L_c^{N=4}$-加群からアドミッスィブアフィン頂点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-加群への関手を確立する。主な貢献は、両代数の無限族の重み加群および対数的加群の構成に加え、$L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ の部分代数が $c = -10$ の $W(2,3)$-代数の対数的拡張であることを示すコセット実現である。

ABSTRACT

We shall first present an explicit realization of the simple $N=4$ superconformal vertex algebra $L_{c} ^{N=4}$ with central charge $c=-9$. This vertex superalgebra is realized inside of the $ b c βγ$ system and contains a subalgebra isomorphic to the simple affine vertex algebra $L_{A_1} (- frac{3}{2} Λ_0)$. Then we construct a functor from the category of $L_{c} ^{N=4}$--modules with $c=-9$ to the category of modules for the admissible affine vertex algebra $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. By using this construction we construct a family of weight and logarithmic modules for $L_{c} ^{N=4}$ and $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. We also show that a coset subalgebra of $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$ is an logarithmic extension of the $W(2,3)$--algebra with $c=-10$. We discuss some generalizations of our construction based on the extension of affine vertex algebra $L_{A_1} (k Λ_0)$ such that $k+2 = 1/p$ and $p$ is a positive integer.

研究の動機と目的

• 中心電荷 $c = -9$ の単純な $N=4$ スーパーレイノルト型頂点代数 $L_c^{N=4}$ の明示的自由場実現を開発すること。
• $L_c^{N=4}$-加群からアドミッスィブアフィン頂点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-加群への関手を確立すること。
• $L_c^{N=4}$ および $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ の両方の代数に対して、無限族の既約重み加群および対数的加群を構成すること。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ のコセット部分代数を、中心電荷 $c = -10$ の $W(2,3)$-代数の対数的拡張として特定すること。
• $p \geq 3$ に対して、$N=4$ および $A_2^{(1)}$ の場合を一般化した頂点代数族 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ と $\mathcal{R}^{(p)}$ の構成。

提案手法

• $N=4$ スーパーレイノルト型頂点代数 $L_c^{N=4}$ で $c = -9$ であるものは、$bc\beta\gamma$ システムに対応する、ウェイル頂点代数 $M$ とクリフォード頂点超代数 $F$ のテンソル積内の最大 $sl_2$-可積分部分加群として実現される。
• $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ のワキモト加群は $M \otimes F$ 内に実現され、$L_c^{N=4}$ はこのテンソル積内の最大 $sl_2$-可積分部分加群に同型である。
• (ねじれ付き) $L_c^{N=4}$-加群から非ねじれ $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-加群への関手 $\mathcal{L}_s$ が構成され、加群構造の移行が可能になる。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ は $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$ の部分代数として実現され、ここで $F_{-1}$ は一般化された格子頂点代数である。
• $p \geq 3$ に対して、一般化された頂点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ と $\mathcal{R}^{(p)}$ が導入され、$L_{A_1}(k\Lambda_0)$ に $k+2 = 1/p$ を満たす拡張を用いて定義され、$\mathcal{V}^{(p)} \otimes F_{-p/2}$ 内に実現される。
• 共形埋め込みと $\mathcal{W}$-代数構成が用いられ、$\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$ が $k = -8/3$ で成り立つという予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心電荷 $c = -9$ の単純な $N=4$ スーパーレイノルト型頂点代数を、$bc\beta\gamma$ システム内でどのように明示的に実現できるか。
• RQ2 $L_c^{N=4}$ の加群のカテゴリカル構造、特にカテゴリ $\mathcal{O}$ および重み加群における既約加群の構造は何か。
• RQ3 $L_c^{N=4}$-加群からアドミッスィブアフィン頂点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-加群への関手をどのように構成できるか。
• RQ4 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ のコセット部分代数の性質は何か。また、これは対数的拡張の $W(2,3)$-代数とどのように関係するか。
• RQ5 $L_c^{N=4}$ および $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ の構成を、$p \geq 3$ に対して族 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ と $\mathcal{R}^{(p)}$ に一般化できるか。

主な発見

• $N=4$ スーパーレイノルト型頂点代数 $L_c^{N=4}$ で $c = -9$ であるものは、ウェイル頂点代数 $M$ とクリフォード頂点超代数 $F$ のテンソル積 $M \otimes F$ 内の最大 $sl_2$-可積分部分加群として実現される。
• $L_c^{N=4}$ のカテゴリ $\mathcal{O}$ には唯一2つの既約加群しか存在せず、無限に多くの既約重み加群が存在する。また、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}_{\geq 0}$-次数付き加群で、各重量空間が有限次元であるカテゴリは半単純である。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ は $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$ の部分代数として実現され、関手 $\mathcal{L}_s$ が $L_c^{N=4}$-加群から $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-加群への写像を提供する。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ のコセット部分代数は、中心電荷 $c = -10$ の $W(2,3)$-代数の対数的拡張として特定され、対数的 conformal field theory との関連を示唆する。
• $p \geq 3$ に対して、一般化された頂点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ と $\mathcal{R}^{(p)}$ が構成され、$\mathcal{R}^{(2)} \cong L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ であり、$\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$ が $k = -8/3$ で成り立つという予想が提示され、より高ランクの $\mathcal{W}$-代数と関連する。